Главная Промышленная автоматика.


Рис. 7.2. Полиномы из леммы 7.2.

Покажем, как использовать полиномы для вычисления остатков. Вначале вычисляются остатки Го, и /-4, от деления р (х) на л:*-а»

и р{х) на X*-со*, где р(х)=а>д. Затем вычисляются остатки

foi и Га1 от деления Гоа на х*-ш» и Гоа на jc*-ш* и остатки и г« от деления на д;*-и Г4» на д:*-со». Наконец, вычисляются Гоо, ю, "го. . • •, Tjo, где Гоо и Лю- остатки от деления Гох на д:-со» и на X-й)*, Гао и Гао- остатки от деления Ги на х-(о? и на X-ш", и т. д.

Другие примеры применения этого подхода приведены в разд. 8.5. □

Доказав, что полиномы q,„ имеют вид д:*-с, покажем, что остаток от деления р (х) на д:*-с найти легко.

Лемма 7.3. Пусть

p(x)Ja,xJ /=о

и с - постоянная. Тогда остаток от деления р (х) на х*-с равен

r(x)=J(af + cayt)xJ.

Доказательство. Достаточно заметить, что р(х) можно представить в виде

{х*-с) + г{х). □

Итак, остаток от деления произвольного полинома степени 2t-1 на X*-с можно найти за Од (О шагов. Любой из известных алгорит-



begin

1. пусть Го4= 2 ajXf,

/ = 0

comment Полином представлен своими коэффициентами, так что в строке 1 не производится никаких вычислений.

Остаток от деления полинома 2 будет пред-

ставлен полиномом

2. for m-<-fe-I step -1 until 0 do

3. for /0 step 2"+i until n-l do

begin

2Я + -1

4. пусть r,,„+,= 2 ajxf;

comment Вычисляем остатки меньшей степени, используя коэффициенты полинома r,,„+i;

5. S4-гвуи/г»);

21»-1

6. Г1„{х)<- 2 (а/ + со*а/+г<«)д:Л

21В-1

"/+2", m

end;

8. for l-O until n - l do 6rev(/)

end

Рис. 7.3. Алгоритм быстрого преобразования Фурье.

MOB тратит больше времени на вычисление остатка от деления произвольного полинома степени 2/-1 на произвольный полином степени t.

Сформулируем полностью БПФ-алгоритм. Алгоритм 7.1. Быстрое преобразование Фурье

Вход. Вектор а=[ао, ai, . . ., On-iV, где п=2* для некоторого целого числа k.

Выход. Вектор f (а)=[&о, bi, . . ., bn-iV, где frj =207(0для

0<i<n.

Метод. См. рис. 7.3. □



Модификация алгоритма 7.1 для вычисления обратных преобразований состоит в замене ш на со- (для этого в строках 6 и 7 меняются знаки показателей степеней элемента ш). Кроме того, в строке 8 brevu) делится на п.

Пример 7.2. Пусть п=8 и, значит, k=3. При т=2 цикл в строках 3-7 выполняется только для /=0. В строке 4 Газ=а]Х, в строке 5 s=0, в строках 6 и 7

= (Оз -f а,) д:Ч- (йа + а,) + (а + а)х + (а„ f а,)

г 42 == («3 + «*а,) -f (Са -f coaj д:» -f (а +а*а) х + (а + (u«aj.

Если т=1, то Z принимает значения О и 4. Когда /=0, в строке 5 s=0. Тогда в строках 6 и 7

г 01 = (fli + as + a + a,)x + (а, + Са -f 04 -f а,)

"21 = (Oi + о)*аз + + о)*а,) д: -f (а„ + ««а, -f а, -f ш*а.).

Когда /=4, в строке 5 s=2. В силу строк 6 и 7 и формулы для Гц, приведенной выше,

Гц = (Oi + сосз -f 0*05 + соа,) х + (аа + соСа +10*04 + «Ч). /"ei = (fli + «а, -f 0*0 + (оа,) х + (ао + ©"«а + -f ша,).

Наконец, если т=0, то I принимает значения О, 2, 4 и 6. Например, при 1=4 будет s=l, и, отправляясь от Гц, вычисляем

= Оо + -f coCj + ...+ (оа,.

К моменту входа в for-цикл в строке 8 полином г,о всегда будет иметь степень О, т. е. будет равен постоянной. Например, при 1=4 будет rev (0=1 и г40 станет значением для bi. Эта формула для bi согласуется с определением bi- □

Покажем, что алгоритм 7.1 корректен.

Теорема 7.3. Алгоритм 7Л вычисляет дискретное преобразование Фурье.

Доказательство. В строке 6 ri„=r,„+i/q,„, а в строке 7 r/+2»».m=,,„ + i/(7/ + 2».m. ПоЭТОМу С ПОМОЩЬЮ лсмм 7.2 и 7.3

легко доказать индукцией по k-т, что - остаток от деления

UjX-f на Qi. Тогда для т=0 лемма 7.3 гарантирует, что for-цикл

в строке 8 присвоит всем bt правильные значения (остатки, равные постоянным). □

Теорема 7.4. Алгоритм 7.1 тратит время Оа(п log п).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

0.0038