Главная Промышленная автоматика.


Рис. 9.24. Части дерева Г/, важные для случая 3 (б). Двумя штриховыми линиями с метками а,- изображены ребра дерева Л,-.

9.22. В узле и находим, что BJa]=l, поскольку abb - подцепочка цепочки bbabb%. Таким образом, узел и - это Uy. Теперь ищем узел Vy, т. е. а-сына узла ы в Л г. Узла Vy нет, так что здесь подходит случай 2.

Узел w, т. е. отец узла и в Та, не имеет а-сына в А. Но узел г, отец узла ш, имеет. Им будет узел 4. Поэтому на шаге 1 случая 2 мы находим, что - узел с меткой 4 в Га и Л г. На шаге 2 находим, что q=2, щ=г и U2=w. Кроме того, Ci=Ca=ft. Поэтому на шаге 3 образуем узел v, являющийся &-сыном узла с меткой 4 в Та (в Ti он утратил свою метку). Образуем также узел Vy и делаем его ft-сыном узла V.

На шаге 4 получаем /=3. Поскольку бывшая метка k узла Vi равна 4, заключаем, что т=6. Находим aj+i=a и аот+1=$. Поэтому новые узлы с метками 1 и 4 становятся соответственно а-сыном и $-сыном узла Vy. Дерево Ti изображено на рис. 9.25. Остальные шаги оставляем в качестве упражнения. □

Лемма 9.4. Если Tt+i и А i+i - позиционное и вспомогательное деревья для Xi+i, пю деревья Ti и At, построенные алгоритмом 9.5,- позиционное и вспомогательное деревья для Xt.

Доказательство. Допустим, что Tj+i представляет множество Sj+i идентификаторов позиций в Xj+i, а - вспомогательное дерево для Tj+i. Здесь могут быть две возможности:

1) Si=Si+iU{Si(0}.

2) Si=(Sj+i-{Sj+i()}) и {Si{k), Si(i)} для некоторогоt<<n.




1 ) (4

Рис. 9.25. Окончательное позиционное дерево Tj.

Первая возможность покрывается случаями 1 и 3(6) алгоритма 9.5, вторая - случаями 2 и 3(a). Рассуждения, необходимые для доказательства корректности алгоритма 9.5 в случаях 1-3, включены в его описание. □

Таким образом, позиционное дерево для произвольной цепочки можно построить следующим алгоритмом.

Алгоритм 9.6. Построение позиционного дерева

Вход. Цепочка х$ =ai. . .a„a„+i, где а, € / для l<i<n и a„+i= =$.

Выход. Позиционное дерево Ti для ;с$. Метод.

1. Пусть 7„+1 - позиционное дерево на рис. 9.26 и Вг[а\= =B„+i[a]=0 для всех а1.

2. Пусть - вспомогательное дерево, совпадающее с деревом на рис. 9.26.

3. for i -f-n step -1 untn 1 do алгоритм 9.5 для построения 7j и At из Tt+i и □

Теорема 9.12. Алгоритм 9.6 строит позиционное дерево для цепочки х$ за время, пропорциональное числу узлов в окончательном позиционном дереве Т.



Рис. 9.26. Начальное позиционное дерево.

Доказательство. На шаге 1 алгоритма 9.5 можно найти лист /+1 за фиксированное время с помощью указателя на этот лист, установленного в момент добавления листа к 7+i. Когда к Ti добавляется i, этот указатель переводится на i.

Работа, производимая при каждом выполнении шагов 2 и 3, очевидно, пропорциональна длине пути из i+\ в Uy, а при каждом выполнении шага 1 постоянна. Легко проверить, что время, затрачиваемое на выполнение любого из случаев 1-3 алгоритма 9.5, пропорционально числу узлов, добавляемых к дереву. Таким образом, общее время, которое тратится всеми частями алгоритма 9.5, кроме шагов 2 и 3, пропорционально размеру дерева Ti.

Осталось показать, что сумма расстояний между узлами i+l и Uy (или корнем, если узла Uy нет) в Ti+i для l<i<n не превосходит размера дерева Ti. Обозначим эти расстояния через dj, йз, ... . . ., dn+i, и пусть Bi, l<i<n+l,- глубина узла i в Tt. Простой анализ случаев 1-3 показывает, что

eiei,-dii + 2. (9.1)

Просуммируем обе части неравенства (9.1) по i от 1 до п:

2 d/<2n+e„+i-e,. (9.2)

Из (9.2) непосредственно следует, что время, затрачиваемое шагами 2 и 3 алгоритма 9.5, составляет 0(п) и, значит, по порядку не превосходит размера дерева Ti. □

Как уже отмечалось, позиционное дерево для цепочки длины п может содержать 0(л*) узлов. Поэтому любой алгоритм идентификации, в котором строится такое дерево, должен иметь временную сложность 0(п). Однако можно "уплотнить" позиционное и вспомогательное деревья, сжав все цепи в позиционном дереве в один узел. Цепью называется путь, каждый узел которого обладает в точности одним сыном. Нетрудно показать, что уплотненное позиционное дерево для цепочек длины п содержит не более 4п-2 узлов. Уплот-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [128] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

0.0037