Главная Промышленная автоматика.

8.9. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НОД ПОЛИНОМОВ

В строках 5 и 6 вычисляем

е = 4л;з-7л:«+11x4-22, f- А 2 93 45 ~ 16 «

Находим, что [ /"/2 J = 1 и, значит, в строках 7 и 8 g„ = 4x*-7x+ll, /1о = 22,

s> 16* 16

»1 = --8--

Таким образом, в строке 9

Т О О 1

В строке 10обнаруживаем, что (7(х), т. е. частное LW/WJ. равно /х-Следовательно, в строке 11 получаем результат

ГО 1 ПГО 1 "

/ 1 1 N

1 -U~T6JJLi -(+3).

1 -{х + З) -]

{4 1б) 4 * + 16+16

1 О о 1

Заметим, что

это верно, ибо в последовательности остатков для pi и р член е является последним полиномом, степень которого больше половины степени pi. □

Рассмотрим матрицу R, вычисляемую в строке 4 процедуры ПНОД. Предположительно, R есть

О 1

L1 -Ы-

где qj {х) обозначает /-е частное из последовательности остатков для bo и bi, т. е. R=Ru°i{\mi2M- Однако в строке 5 мы использовали R как матрицу Rй!"{3m2), чтобы получить d и е, где d - последний член последовательности остатков, степень которого больше 3m/2. Надо показать, что обе эти интерпретации матрицы R корректны,

т. е. Ко, /(ГЗт/21) -ао. ;(Гт/21).

*) Это вычисление, конечно, можно было бы выполнить сразу после строки 5.



Точно так же мы должны показать, что матрица S, вычисляемая в строке 9, может играть предназначенную ей роль, т. е.

Эти результаты вытекают из следующих лемм. Лемма 8.6. Пусть

f{x) = fAx)x + f,(x), (8.25)

где CY(f,)<k и

g{x) = gAx)x + g,{x). (8.26)

где Cr(g2)<k. Пусть q uq - частные \ f (x)/g ix)J ы L /i (xVgi (x) J, ar и fi- остатки f (x)-q(x) g(x) и fi(x)-qi{x)gi{x)соответственно. Если CT(/)>CT(g) и /г<2 CT(g) - СТ(/) {т. е. С i{gx)>UCl(f,)), то

(а) q{x)=qi(x),

(б) в полиномах г{х) и ri{x)x все члены степени k+CT{f)-CT{g) и выше совпадают.

Доказательство. Рассмотрим процесс деления f{x) на g(x) с помощью обычного алгоритма, который делит первый член полинома / {х) на первый член полинома g (х), чтобы получить первый член частного. Первый член частного умножается на g (х) и вычитается из f(x) и т. д. Первые CT{g)-k членов, полученных таким способом, не зависят от gaix). Но частное содержит лишь члены степени СТ(/)-CT(g-). Поэтому если CY(f)-CY{g)CY{g)-k, т. е. ft< 2CT(g)-СТ(/), то частное не зависит от g-i{x). Если СТ(/)-CT(g) CT{f)-k, то частное не зависит от faix). Но неравенство СТ(/)- -CY(gXCY(f)-k следует из ft<2CT(g)-СТ(/) и CT(/)>CT(g). Таким образом, утверждение (а) доказано. Что касается утверждения (б), то аналогичные рассуждения показывают, что члены остатка, имеющие степень CT{f)-(CT(g)-k) и выше, не зависят от 2(). Аналогично члены остатка, имеющие степень к и выше, не зависят от fiix). Но CT(f)-CY{g)+k>k. Таким образом, в г(л:) и ri{x)x все члены степени СТ(/)-CT(g)+k и выше совпадают. □

Лемма 8.7. Пусть fix)=fi{x)x+fi{x) и gix)=gi(x)x+g2{x), где CTifiXk и CT(g,)<k. Пусть СТ(/)=п и CT(g)<CT(/). Тогда

0,/(Г(П+А)/21) 0. /(Г(П-Й)/2])

т. е. частные, входящие в последовательности остатков для (f, g) и (/i, gi), совпадают по крайней мере до того места., где во второй последовательности появляется остаток степени, не большей половины степени полинома fi.

Доказательство. Лемма 8.6 гарантирует совпадение частных и достаточного количества старших членов в соответствую-



8.9. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НОД ПОЛИНОМОВ

щих остатках, входящих в рассматриваемые последовательности. □

Теорема 8.17. Пусть аа{х) и ai(x) - такие полиномы, что СТ(а„)=п и CT(ai)<«- Тогда ПНОД(а„, а) = Ro. нп/2).

Доказательство. Теорема доказывается простой индукцией по п, в которой учитывается лемма 8.7, чтобы гарантировать, что матрица R в строке 4 равна Ro°ii\3mm), а S в строке 9 равна

АДЗт/21) + 1./ (т)- I-J

Теорема 8.18. Процедура ПНОД выполняется за Оа(Л1 (n)log л) шагов, если ее аргументы имеют степени не выше п; здесь М (п) - время умножения двух полиномов степени п.

Доказательство. Докажем утверждение для случая, когда п степень числа 4. Поскольку время выполнения процедуры ПНОД, очевидно, не убывает с ростом п, то наша теорема будет тогда верна и для произвольного п. Если СТ(ао) - степень числа 4, то

СТ ф,) = 1 СТ(а„), CT(g„) < 1СТК).

Таким образом, время Т (п) выполнения процедуры ПНОД для входа степени п удовлетворяет условию

r(n)<2r(-j)-fcM(n) (8.27)

для некоторой постоянной с. Другими словами, тело процедуры ПНОД включает в себя два вызова той же процедуры для аргументов половинного размера и постоянное число других операций с временной сложностью Оа{п) или Оа{М{п)). Решение неравенства (8.27) должно быть известно читателю; оно ограничено сверху функцией CiMin)\og п для некоторой постоянной Ci. □

Перейдем к изложению полного алгоритма нахождения наибольших делителей. В нем участвует процедура ПНОД, вычисляющая Ro.n/2, затем Ro.3n/i, Ro.7n/8 и т. д., где п - степень входа.

Алгоритм 8.7. НОД-алгоритм

Вход. Полиномы pi{x) и р2(.х), для которых CT(/?2)<CT(/?i). Выход. Наибольший общий делитель ИОЩри ра) для pi и ра-Метод. Вызываем процедуру Н0Д(р1, pz), где НОД - рекурсивная процедура, приведенная на рис. 8.8. □

Пример 8.12. Продолжим пример 8.11. Там pi(x)=x+x+x+ +л:+1 и р2{х)=х*-2х+Зх-х-7. Мы уже нашли, что

г 1 -(х + З) 1

М М 1 , , ч , 13 .

ПНОД(р„ ра) =





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [110] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

0.0037