Главная Промышленная автоматика.

«01

,1109 i

12 J \ 12 У

Рис. 8.5. Вычисления из примера 8.6.

Таким образом, результатом строки 5 будет 1109 mod 210, т. е. 59. Можете проверить, что вычеты числа 59 по модулям 2,3, 5 и 7 равны 1, 2, 4 и 3 соответственно. На рис. 8.5 эти вычисления изображены графически. □

Теорема 8.11. Алгоритм 8.5 правильно вычисляет целое число и, для которого ыч->(Ыо, «i, . . ., «-1).

Доказательство. Элементарная индукция по / показывает, что Sij принимает нужное значение, т. е.

Sl/= S Qi/dmUm/Pm-

Корректность алгоритма непосредственно следует из леммы 8.2, т. е. из справедливости формулы (8.20). □

Теорема 8.12. Пусть даны k попарно взаимно простых целочисленных модулей Ро, Pi.....Pk-i и вычеты («о, Hj, . . ., u.i).

Если каждое из чисел р, содержит не более b битов, то существует алгоритм с предварительной обработкой данных, вычисляющих число



8.7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОЛИНОМОВ

и, для которого 0<«<p=XIpj и ич-»(«о, «ь . . ., «л-О, за время

Об {М (bk) log k), где М (п) - время умножения двух п-битовых чисел.

Доказательство. Вычисление чисел занимает

OB(M(bk) log fe) времени Для анализа тела алгоритма заметим, что Sij содержит не более b2+b+j битов, ибо является суммой 2 слагаемых, каждое из которых равно произведению 2-+1 целых чисел, состоящих не более чем из b битов. Поэтому каждое слагаемое содержит не более Ь(2-+1) битов, а сумма 2 таких слагаемых - не более b(2/+l)+log (2/)=Ь2+Ь+/ битов. Таким образом, строка 4 занимает время Об (М (bV)). Цикл в строках 3, 4 повторяется раз для фиксированного /, так что весь цикл выполняется за

Об (Л1(Ь2)

шагов, а в силу обычного предположения о росте функции М(п) эго не превосходит Ob(M(bk)). Так как цикл в строках 2-4 итерируется log k раз, то общая сложность составляет Об (М (bk) log k) шагов. Легко показать, что сложность строки 5 меньше. □

Следствие. Китайский алгоритм с предварительной обработкой данных, примененный к k модулям по b битов в каждом, работает не более Об (bk log k log bk log log bk) времени.

8.7. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОЛИНОМОВ

Должно быть ясно, что все результаты предыдущего раздела справедливы и для полиномиальных модулей, а не только для целочисленных. Поэтому верны следующая теорема и ее следствие.

Теорема 8.13. Пусть рп(х), Pi(x), . . ., Pk-i(x) - полиномы степени не больше d и М(п) - число арифметических операций, необходимых для умножения двух полиномов степени п. Пусть Uo{x), Ui(x), . . ,, u,i-i(x) - такие полиномы, что степень полинома Ui(x) меньше степени полинома Pi(x), 0i<k. Тогда существует алгоритм с предварительной обработкой данных, вычисляющий за время О А (М (dk) log k) тот единственный полином и(х) степени,

меньшей степени полинома p(x)=T\pi(x), для которого

1 = 0

u(x)i(Uo(x), и(х), Uk i(x)).

Доказательство. Применяется аналог алгоритма 8.5 и доказательство следует доказательству теоремы 8.12. □

) Поскольку D(rt) и М(п) по существу равны, мы предпочитаем везде употреблять М(п).



Следствие. Существует алгоритм восстановления полиномов по остаткам {согласно китайской теореме) с временной сложностью О А {dk log k log dk).

Рассмотрим один важный частный случай: все модули имеют степень 1. Если pi{x)=x-Cj, 0t<ft, то вычеты (числа И;) постоянны, т. е. являются полиномами степени 0. Если и {x)=Ui (mod (х-Ut)), то u{x)q(x) (x-ai)+Ui и, значит, u{ai)=Ui. Таким образом, единственным полиномом и (х) степени, меньшей k, для которого и (л:)<-> *->(uo, «1, • • , "ft-i). будет тот единственный полином степени, меньшей k, для которого u{ai)=Ui для каждого i, 0i<ik. Другими словами, и{х)-это полином, интерполируемый по значениям «; в точках а,-, 0<i<ft.

Поскольку при работе с полиномами интерполяция очень важна, мы с удовольствием отметим, что интерполяцию по значениям в k точках можно выполнить за время О а {k log k), даже если нет предварительной обработки данных. Это объясняется тем, что здесь, как мы увидим из следующей леммы, легко найти значения коэффициентов di из (8.20) 1).

Лемма 8.3. Пусть pi {x)=x-ai для 0<i<ft, где все С; различны

(т. е. все Pi{x) взаимно просты). Пусть p(x) = Ylpj{x), Ci{x)= =p(x)/pi(x) и di(x) -постоянный полином, причем di{x)Ci{x)=l {тойPi {X)). Тогда dilix)=\lb, где b=- p{x)U=ai.

Доказательство. Запишем р ix)=Ci (х) Pi {х), так что

1р (д:) = {X) Ci (х) + Ci (X) Pi (X). (8.21)

Далее, dpi{x)/dx=l и pi(aj)=0, поэтому

dpjx) dx

=с,(а,). (8.22)

Заметим, что di (х) обладает тем свойством, что di (х) Ci {х)= =1 (mod {x-Ui)), и, значит, dt (x)ci ix)=qi (х) {x-ai)+l при некотором qt (х). Таким образом, di (ai)=l/cj (аЦ. Теперь лемма немедленно следует из (8.22), поскольку di (х) - постоянная. □

Теорема 8.14. Интерполяцию полинома по значениям в k точках можно выполнить за время Од (/г log k) без предварительной обработки данных.

Доказательство. В силу леммы 8.3 вычисление полиномов di эквивалентно вычислению значений производной некоторого

1) Как упоминалось в разд. 8.6, эта задача в действительности несложна и в общем случае. Но в общем случае нужна техника следующего раздела.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [107] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

0.004