Главная Промышленная автоматика.

доказывать ещё и в обратную сторону: если цепная дробь числа а периодическая, то а - квадратическая иррациональность. Для этого надо все наши геометрические построения перевести в уравнения, что нетрудно. Всё это проделано в следующем разделе.


Рис. 16

А теперь я сформулирую задачу II, которая, как и задача I, требует только компьютера (для начала, а потом может привести к нетривиальной теореме, если компьютер подтвердит, что гипотеза верна).

Рассмотрим матрицы ) > У которых а, b,c,d - целые числа, а определитель равен 1. Выберем из них те, которые действительно задают гиперболический поворот*). Матриц, элементы которых не слишком велики, т. е. + + < N, конечное число. Для

каждой такой матрицы существует растягивающаяся прямая у = ах, причём а, как нетрудно видеть, квадратичная иррациональность, поэтому его цепная дробь периодична. Возьмём этот период и посчитаем, сколько в нём единичек, сколько двоек, троек и т. д., а потом усредним по всем матрицам ( " ) > именно, возьмём количество

единиц по всем матрицам, разделим на количество всех элементов во всех периодах. Гипотеза: это отношение будет при N оо стремиться к вероятностям, которые даются формулой Гаусса.

*) Некоторые из таких матриц задают обычный поворот; например, матрица

0 -1

задаёт обычный поворот на 90°.



III. Ещё одна гипотеза. Сделаем то же самое просто для квадратных уравнений x+px + q = 0 со случайными целыми коэффициентами р и q, такими, что уравнение имеет вещественные корни. А именно, для всех не слишком больших пар (p,q) (т. е. таких, что +q N), найдём х, разложим его в цепную дробь; эта дробь периодична. Возьмём все элементы всех цепных дробей и посмотрим, будут ли доли, которые составляют единицы, двойки и т. д., стремиться к гауссовым вероятностям.

Этот компьютерный эксперимент проще, чем предыдущий, но ТОТ более интересный. Впрочем, обе эти гипотезы экспериментально ещё не проверены.

Геометрия теоремы Лагранжа: случай общих квадратичных иррациональностей

Если цепная дробь числа а периодична, начиная с некоторого места, ТО а - квадратичная иррациональность, т. е. удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Действительно,

а = ао +---, Р =

«1 + . h +-

для а - цепной дроби с элементами

UQ, ul, а„; bi, bp-, bi, bp-, bi, bp-, ...

Для числа p сразу получается квадратное уравнение, поскольку правая часть его выражения является дробно-линейной функцией от р:

Р = (например, прир = 1: р = т. е. р + feiP- 1 = о).

Справедливо и обратное утверждение:

Для любой квадратичной иррациональности а цепная дробь периодична, начиная с некоторого места.

Выше ЭТО уже доказано геометрически для случая, когда число а определяет наклон прямой у = ах, растягивающейся в X раз под действием линейного отображения плоскости

М:(х, у) (ах + Ьу, cx + dy),

отображающего решётку целых точек (х,у) на себя: MZ=Z.

Условие сохранения решётки целых точек выражается в терминах коэффициентов а, Ь, с, d следующим образом.



Во-первых, для того, чтобы целые точки переходили в целые точки (MZ CZ Z) необходима и достаточна целочисленность коэффициентов.

Во-вторых, для того, чтобы образ был всей решёткой целых точек, а не более разреженной подрешёткой, необходимо и достаточно, чтобы «основной параллелограмм», натянутый на базисные векторы решётки (е = (1,0) и / = (0,1)) переходил в основной же параллелограмм, натянутый на другие два базисных вектора (Е = ае + cf, F = = be+df). Чтобы параллелограмм, натянутый на£ и F, был основным, необходимо и достаточно, чтобы его (ориентированная) плош;адь была равна либо -Ы, либо -1, т. е. чтобы ad - fee = +1.

Укажем теперь явно для каких чисел а периодичность цепной дроби тем самым уже доказана.

При введённых выше обозначениях мы получаем для а и А, уравнения, выражаюш;ие растяжение в X раз вектора e + af прямой у = ах на плоскости {хе + yf) под действием отображения М:

а + Ьа = Х, c + da = Ха.

Подставляя значение коэффициента растяжения X из первого уравнения во второе, мы получаем квадратное уравнение для коэффициента наклона а: (а + Ьа)а = с + da, т. е. fea +(а- d)a - с = О, откуда

d-a + V(d-af+ 4&С

В случае, когда преобразование М сохраняет решётку, коэффициенты разложения образов базисных векторов по исходным базисным векторам удовлетворяют соотношениюad-bc = г(г = +1).В этом случае bc = ad- е, так что

d-a + V(d+af-4е " 2Ь •

Пример. Пусть а = 0, fe = l, d = 2p. Тогда условие сохранения решётки принимает вид с = -е, и мы приходим к заключению:

Теорема. Разложение в цепную дробь иррационального числа

а=р + р-г, (3)

удовлетворяюш;его квадратному уравнению

а-2ра + г = 0, где е = +1, периодично для любого натурального числа р.





0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12

0.0033