Главная Промышленная автоматика.





Рис. 13

Рис. 14



а) АК

б) АК



в) АК г) АК

Рис. 15



Заметим, что если мы к х или у прибавим целое число, то к координатам образа точки (х, у) прибавятся целые числа. Таким образом, преобразование А, действующее на плоскости М?, переводит в себя целочисленную решётку, поэтому можно считать, что оно действует и на M/Z (единичном квадрате), т. е. на торе. Таким образом, его можно рассматривать как преобразование тора. Более формально, преобразованию А плоскости соответствует преобразование А тора.

Пусть «кошка» (К) - подмножество тора (рис. 13). Сначала «кошка» подвергается преобразованию А: преобразование А каждую точку (х, у) переводит в новую точку, а значит, переводит множество К в новое множество точек тора, которое обозначается Ак. Изображать эти множества будем не на самом торе, а на его плоской карте, рис. 14*). Применяя преобразование А снова и снова, получим множества АК, АК и т. д. Поскольку матрица А имеет определитель 1, то фигура Ак имеет на карте такую же площадь, как К, но форму совсем другую, и даже может оказаться разрезанной на кусочки. Если мы ещё раз применим А, то кусочков станет больше, но суммарная их площадь не изменится. После 4-5 преобразований образ «кошки» довольно равномерно распределится по всему тору, его кусочки образуют «кашицу», рис. 15, а-г. Это и есть «окрошка, приготовленная из кошки».

Доказана математическая теорема, утверждающая, что это действительно «окрошка» в следующем смысле. Если взять какую-нибудь часть тора В, то площадь пересечения фигуры АК с В при fe оо стремится к произведению площадей К и В**), т. е. доля «кошки», которая через k шагов будет находиться внутри В, пропорциональна площади В.

Задача. Доказать, что при любом k преобразование А* имеет неподвижные точки, а все неподвижные точки всех преобразований А* образуют всюду плотное множество на торе.

Известно, что у каждого преобразования А* конечное число неподвижных точек, но это число быстро растёт вместе с k.

Обратимся снова к цепным дробям. Рассмотрим плоскость, накрывающую наш тор, и рассмотрим преобразование А. Оказывается (это легко доказать), на плоскости существуют две прямые, каждая из

*) Поскольку положение точки на торе определяется двумя координатами и можно считать, что каждая из координат принадлежит полуинтервалу [0,1), то каждой точке тора можно поставить в соответствие точку квадрата [0,1)х[0,1)и считать этот квадрат картой тора. **) Площадь поверхности тора равна 1.



которых при ЭТОМ преобразовании переходит в себя: одна прямая при этом растягивается, а другая сжимается, причём коэффициенты растяжения и сжатия обязательно одинаковы, потому что А сохраняет площадь. (Начало координат, разумеется, переходит в себя: это видно из формулы.) Такое преобразование называется гиперболическим поворотом, и ВОТ почему. Введём новую систему координат, взяв одну из этих прямых за ось и, а другую - за ось v. Так вот, преобразование А сохраняет гиперболы, заданные в этой системе координат уравнением UV = const при разных значениях константы (рис. 16), потому что одна из координат иии увеличивается во сколько-то раз, а другая во столько же раз уменьшается.

Возьмём теперь множество всех целых точек, которые расположены в каком-нибудь из координатных углов (можно доказать, что на самих прямых Ои и Ov целых точек, кроме начала координат, нет) и рассмотрим его выпуклую оболочку. При преобразовании А целые точки переходят в целые точки, расположенные в этом координатном квадранте, поэтому наша выпуклая оболочка переходит в себя, следовательно, её граница инвариантна относительно преобразования А. Отсюда следует, что геометрические характеристики, целочисленные длины*) сторон бесконечной ломаной, которую мы строили в начале этой брошюры, - а ЭТО как раз элементы цепной дроби числа а для соответствующей прямой у = ах - эта последовательность периодическая, потому что оператор А переводит её в себя. Строго говоря, на рис. 1 имеются две ломаные: верхняя, с вершинами бз, и нижняя, с вершинами eg.i. Элементы цепной дроби - это целочисленные длины отрезков обеих ломаных (в порядке (6,63), (63,64), (е,е), ...).

На самом деле теорема Лагранжа так и доказывается. Я её доказал неформально, не строго и не для всех а. Кроме того, нужно

*) Целочисленной длиной отрезка между двумя целыми точками называется число частей, на которые этот отрезок делится целыми точками. например, целочисленная длина вектора (13,21) равна 1 (по теории золотого сечения). «вероятность» того, что целочисленный вектор на плоскости имеет целочисленную длину 1 (доля таких векторов в круге стремящегося к бесконечности радиуса) равна

-n(>-,4)-V(."i-e-

здесь р пробегает все простые числа, а - дзета-функция.

второе равенство выполнено вследствие единственности разложения натурального числа п на простые множители. доказательство того, что (2)= я не привожу, его можно найти в курсах анализа, в теории рядов фурье. 22





0 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12

0.004