+ и + и - и т. д. взаимно уничтожаются и получается, что S = l.

Эта задача придумана при доказательстве приведённой ранее теоремы, и её можно считать указанием, как доказывать эту теорему, а из неё уже вытекает теорема Кузьмина.

Дело в том, что наша система является эргодической. Производная функции / в тех точках, где она суш;ествует, по модулю больше 1 (кроме точки 1, в которой она равна -1). Поэтому первоначально малый отрезок увеличивается при применении функции /, и, если мы много раз применим функцию /, исходное множество «размажется с плотностью р по всему отрезку (0,1)».

А теперь, чтобы соответствуюш;ий элемент цепной дроби был равен числу к, нужно, чтобы целая часть была равна к, а для этого на-

. Поэтому массы (меры) отрезков

до, чтобы мы были между и

(ftTT i) и дают нам величины/>ft.

Здесь нужно применить теорию динамических систем, но я это пропускаю (потому что хочу рассказать про другую теорию, где тоже применяются цепные дроби). Приведённое в книге Хинчина доказательство теоремы Кузьмина использует эргодическую теорему Биркгофа, которая была доказана за несколько лет до Кузьмина и которой, конечно, Виман знать не мог. А Виман 300 страниц потратил на это доказательство. Что же он делал? Может, он и теорему Биркгофа доказал за 30 лет до Биркгофа?

Другие вопросы, связанные с теоремой Кузьмина, которые, как мне кажется, очень интересны для школьников, - это следуюш;ие три гипотезы, прогресс в исследовании которых может быть достигнут просто путём компьютерного эксперимента, вообш;е без всяких доказательств.

о о о о о

о о о о о о оооооооо ооооооооо ооооооооо оооооооооо оооооооооо ооооооооооо\ ооооооооооо 1+ ооооооооооо

Рис. 11

I. Рассмотрим все целые точки (p,q) в положительной четверти круга радиуса ЛГ, т. е. такие, что p + q <N, р>0, q>0 (рис. 11).

Каждое рациональное число а = - разложим в цепную дробь (все эти

дроби конечны). Посмотрим, сколько единиц, двоек, троек и т. д. среди элементов всех этих дробей, и определим частоты, которые будут

зависеть от N. Пусть теперь N очень велико. Будут ли эти числа близки к гауссовым вероятностям из формулы (1)?

С одной стороны, ЭТО вопрос экспериментальный - ответ на него можно проверить на компьютере. С другой стороны, это и вопрос теоретический - если компьютер даст сходство с распределением Гаусса (1), ТО возникнет вызов: доказать такую теорему.

II. Второй вопрос (который близок к первому, хотя это и не совсем очевидно) связан с одним «кухонным рецептом», который во всём мире приписывается московской математической школе, - «рецептом приготовления окрошки из кошки» (в литературе я также встречал странное название «Arnold cat»).

Формулируя задачу, мы будем использовать следуюш;ую теорему (она называется теоремой Лагранжа).

Теорема. Цепная дробь периодична (т.е. последовательность её элементов, начиная с некоторого места, повторяет себя) тогда и только тогда, когда число, представленное этой дробью - квадра-тическая иррациональность (т. е. число видаa + bJc, где а, b ис - рациональные числа).

Например, золотое сечение - число, которое имеет цепную дробь из одних еди-

л/5+1

ниц, равно ---.

Все целочисленные точки на плоскости образуют подгруппу (относительно операции сложения) в М, которая обозначается Z. Каждый алгебраист тут же скажет, что для доказательства теоремы нужно рассмотреть факторгруппу M/Z. А любой геометр скажет, что плоскость является универсальной накрываюш;ей тора (рис. 12), и они будут говорить об одном и том же. Координатами точки на торе являются широта и долгота, которые определены «по модулю 1»: единицу можно прибавить или вычесть любое число раз к любой из координат, получив при этом ту же самую точку. Поэтому каждой точке на торе соответствует бесконечное количество точек плоскости.

Рассмотрим теперь такое преобразование А плоскости на себя, которое точку с координатами (х,у) переводит в точку с координатами (2x4-1/, х + у). Вообш;е, можно взять любое преобразование, которое переводит точку (х, у) в точку (ах + by, сх + dy), где а, b,c,d - целые

а ъ с d

числа. Но сейчас нужно, чтобы определитель преобразования был равен 1. Преобразование

А:{х,у){2х + у, х + у) удовлетворяет этому условию: 7: =21-11 = 1. 18

матрицы этого

(0,1)1

(0,0)

Рис. 12