Главная Промышленная автоматика. - не зависящий от k нормирующий коэффициент; он нужен для того, чтобы сумма всех вероятностей была равна 1). Если k - большое число, то 1 - маленькое число, а натуральный логарифм суммы единицы и маленького числа приблизительно равен этому маленькому числу. Поэтому с ростом k вероятность убывает как гу - обратно пропорционально квадрату к, и когда k велико, вероятность маленькая. Наибольшая вероятность у единицы: если fe = 1, то Как видите, единичек очень много: почти половина (см. таблицу нас. 5). Золотое сечение Существует интересное число (известное ещё издревле), у которого все коэффициенты равны 1: 1 + - Обозначим это число через х. Оно удовлетворяет уравнению 1 + =х, х2-Х+1 = 0, 1+V5 д , 1+V5 откуда X = . А так как х должно быть положительным, х = - (- 1,6). Это число имеет собственное имя, оно называется золотым сечением. Это очень красивое число, например, открытки делают в форме Рис. 8 прямоугольника, отношение сторон которого равно этому числу. Если от такого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника (рис. 8, а), то оставшийся прямоугольник подобен исходному. Это и есть условие того, что отношение сторон равно золотому сечению. Если снова отрезать квадратик, снова получится прямоугольник, подобный исходному (рис. 8, б) и т. д. Я хочу сказать еш;ё несколько слов про теорему Кузьмина в таком виде, чтобы её можно было рассматривать как задачу, хотя и не очень простую. Мы уже встретились с теорией вероятностей, а сейчас подходим к еш;ё одной важной области математики - так называемой теории динамических систем. Динамическая система, которая здесь встречается, - отображение интервала (0,1) на [0,1), которое задано такой формулой: "1" х \х} - целая часть числа -майте сами, почему эта формула имеет отношение к нашей задаче). - дробная часть числа - (поду- Рис. 9 Рис. 10 Построим график этой функции - он целиком умеш;ается в единичном квадрате (рис. 9). Если х = 1,то = 1и =0. Когда х начинает уменьшаться, 1/х растёт и, пока целая часть 1/х равна 1, дробная часть будет расти. Когда х становится равным 1/2, 1/х становится равным 2, поэтому незадолго перед этим дробная часть 1/х близка к единице, потому что само число 1/х близко к 2, а его целая часть ещё равна 1. На интервале (1/2,1) график функции / представляет собой кусочек гиперболы у= 1/х, сдвинутый на единицу вниз. Точно так же между половиной и третью получается опять кусочек этой гиперболы, опущенный на 2, и вообще, на каждом отрезке у, ) график функции / - это кусочек гиперболы, сдвинутый вниз на к. I Теорема. Отображение / имеет инвариантную меру. Это означает вот что. Распределим массу на интервале (0,1), т. е. зададим плотность р(х) и будем считать массой, находящейся на множестве А<(0,1), число ц(А) = J р(х) dx (можно считать, что А - это просто отрезок). Возьмём теперь полный прообраз отрезка А: все точки отрезка (0,1), которые переходят в точки множества А при отображении /; это множество обозначается f~A. В нашем случае полный прообраз состоит из бесконечного числа кусочков (рис. 10). Тогда ц(/"Ы) - сумма мер (масс) всех этих кусочков. Теорема утверждает, что существует такая плотность, что для любого отрезка А ц(А) = ц(/-1А). (2) Эту плотность (хотя, может быть, в другом качестве) нашёл Гаусс: 1 1 р(х) = 1 + х 1п2 множитель взят для того, чтобы суммарная масса была равна 1, как принято в теории вероятностей; мера с плотностью р(х) = тоже инвариантна). Условие (2) равносильно телескопическому уравнению. Есть такая знаменитая задача: посчитать сумму о- 1 + 1 + 1 + Телескопическое суммирование состоит в следующем. Поскольку 1 =1-1 J = l-1 ИТ д 1-2 2 2-3 2 8 А теперь телескопическое суммирование происходит автоматически: 16 0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 0.0017 |