Главная Промышленная автоматика.

- не зависящий от k нормирующий коэффициент; он нужен для

того, чтобы сумма всех вероятностей была равна 1). Если k - большое число, то

1

- маленькое число, а натуральный логарифм суммы единицы и маленького числа приблизительно равен этому маленькому числу. Поэтому с ростом k вероятность убывает как гу - обратно пропорционально квадрату к, и когда k велико, вероятность маленькая. Наибольшая вероятность у единицы: если fe = 1, то

Как видите, единичек очень много: почти половина (см. таблицу нас. 5).

Золотое сечение

Существует интересное число (известное ещё издревле), у которого все коэффициенты равны 1:

1 + -

Обозначим это число через х. Оно удовлетворяет уравнению

1 + =х,

х2-Х+1 = 0,

1+V5 д , 1+V5

откуда X = . А так как х должно быть положительным, х = -

(- 1,6).

Это число имеет собственное имя, оно называется золотым сечением. Это очень красивое число, например, открытки делают в форме

Рис. 8

прямоугольника, отношение сторон которого равно этому числу. Если от такого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной



меньшей стороне прямоугольника (рис. 8, а), то оставшийся прямоугольник подобен исходному. Это и есть условие того, что отношение сторон равно золотому сечению. Если снова отрезать квадратик, снова получится прямоугольник, подобный исходному (рис. 8, б) и т. д.

Я хочу сказать еш;ё несколько слов про теорему Кузьмина в таком виде, чтобы её можно было рассматривать как задачу, хотя и не очень простую.

Мы уже встретились с теорией вероятностей, а сейчас подходим к еш;ё одной важной области математики - так называемой теории динамических систем. Динамическая система, которая здесь встречается, - отображение интервала (0,1) на [0,1), которое задано такой формулой:

"1"

х \х}

- целая часть числа -майте сами, почему эта формула имеет отношение к нашей задаче).

- дробная часть числа - (поду-


Рис. 9

Рис. 10

Построим график этой функции - он целиком умеш;ается в единичном квадрате (рис. 9). Если х = 1,то = 1и =0. Когда х начинает уменьшаться, 1/х растёт и, пока целая часть 1/х равна 1, дробная часть будет расти. Когда х становится равным 1/2, 1/х становится равным 2, поэтому незадолго перед этим дробная часть 1/х близка



к единице, потому что само число 1/х близко к 2, а его целая часть ещё равна 1. На интервале (1/2,1) график функции / представляет собой кусочек гиперболы у= 1/х, сдвинутый на единицу вниз. Точно так же между половиной и третью получается опять кусочек этой гиперболы, опущенный на 2, и вообще, на каждом отрезке у, ) график функции / - это кусочек гиперболы, сдвинутый вниз на к. I Теорема. Отображение / имеет инвариантную меру. Это означает вот что.

Распределим массу на интервале (0,1), т. е. зададим плотность р(х) и будем считать массой, находящейся на множестве А<(0,1), число

ц(А) = J р(х) dx

(можно считать, что А - это просто отрезок). Возьмём теперь полный прообраз отрезка А: все точки отрезка (0,1), которые переходят в точки множества А при отображении /; это множество обозначается f~A. В нашем случае полный прообраз состоит из бесконечного числа кусочков (рис. 10). Тогда ц(/"Ы) - сумма мер (масс) всех этих кусочков. Теорема утверждает, что существует такая плотность, что для любого отрезка А

ц(А) = ц(/-1А). (2)

Эту плотность (хотя, может быть, в другом качестве) нашёл Гаусс:

1 1

р(х) =

1 + х 1п2

множитель взят для того, чтобы суммарная масса была равна 1,

как принято в теории вероятностей; мера с плотностью р(х) =

тоже инвариантна).

Условие (2) равносильно телескопическому уравнению. Есть такая знаменитая задача: посчитать сумму

о- 1 + 1 + 1 + Телескопическое суммирование состоит в следующем. Поскольку

1 =1-1 J = l-1 ИТ д

1-2 2 2-3 2 8

А теперь телескопическое суммирование происходит автоматически: 16





0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12

0.0034