Главная Промышленная автоматика.

Обозначим через размерность векторного пространства однородных составляющих степени га. Ряд

Pit)= ZPnf

называется рядом Пуанкаре алгебры (последнее время его стали называть рядом Гильберта, в соответствии с бурбакистской дискриминацией геометрии).

Ряд Пуанкаре алгебры многочленов от одной переменной (с обычной степенью) есть

= l + t + t + .

Моя задача состояла в том, чтобы классифицировать градуированные алгебры с именно таким рядом Пуанкаре (т. е. с одномерными пространствами однородных элементов любой неотрицательной степени).

При классификации алгебр с тремя мультипликативными однородными образующими (х,1/,2) фиксированных степеней (1,ы,и), 1 < < ы < и я обнаружил, что их число конечно. Математика - экспериментальная наука, так что я сперва вычислил число алгебр при не слишком больших значениях степеней и и v. Получилась довольно загадочная таблица чисел неизоморфных градуированных алгебр:

Теперь нужно было угадать формулу, выражающую число алгебр через степени образующих. Анализируя периодичность, наблюдавшуюся в таблице, я в конце концов нашёл, что число алгебр связано

с разложением отношения в цепную дробь, а именно, оно равно

2(ai-l-a2-l-...)-l-l,



где щ - элементы цепной дроби

а, +

Например, алгебр с мультипликативными образующими степеней (1,2,3) ровно 5, так как

= 1 + , ai = 2, 2ai + l = 5.

При попытке классификации алгебр с большим числом образующих место цепных дробей занимают аналогичные многомерным цепным дробям полиэдральные целочисленные поверхности, и задача классификации до сих пор не решена. Значительные вычислительные трудности удаётся преодолеть только благодаря мощным компьютерным средствам теории базисов Грёбнера (являющихся эффективной алгоритмической версией «теологической» алгебраической геометрии Гильберта с одной стороны и компьютерным современным вариантом теории многогранников Ньютона, которую тот считал своим главным математическим достижением, с другой). Эта теория была придумана при исследовании асимптотик решений уравнений с частными производными.

Д. Эйзенбад построил первые примеры континуальных семейств попарно не изоморфных коммутативных градуированных алгебр с фиксированными степенями мультипликативных образующих. Затем Б. Штурмфельс, используя компьютерную технологию, нашёл довольно много примеров таких четвёрок степеней, для которых это реализуется, включая четвёрки (1, 3, 4, 7), (1, 3, 4, 9), (1, 4, 5, 6), (1, 4, 5, 9), (1, 5, 6, 7), (1, 5, 6, 8), (1, 5, 7, 8), (1, 6, 7, 8), (1, 6, 7, 9), (1, 7, 8, 9). См. [9].

Однако перечисления всех «простых» четвёрок (для которых классификация алгебр конечна) всё ещё нет.

Моя попытка построения ненужной теории оказалась совсем неудачной: возникшая в результате теория многомерных цепных дробей явно интересна и связывает много областей математики.



ЛИТЕРАТУРА

[1] H.Gylden. Quelques remarques relativement а la representation

des nombres irrationels par des fraction continues C. R. Acad.

Sci. Paris. V. 107. 1888. P. 1584-1587. [2] A. Wiman. Uber eine Wahrscheinlichkeits auflage bei Ket-

tenbruchentwicklungen Akad. Fohr. Stockholm. V. 57. 1900.

P. 589-841.

[3] A. Я. X и H Ч и H. Цепные дроби. - М.: Наука, 1978. [4] H.Tsuchihashi. Higher-dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities Tohoku Math. J. V. 35.

1983. P. 607-639. [5] E. К о r к i n a. La periodicite des fractions continues multidimen-

sionelles C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. V. 319.1994. P. 777-780. [6] V.I.Arnold. A-graded algebras and continued fractions Comm.

Pure Appl. Math. V. 42. 1989. P. 993-1000. [7] B. И. Арнольд. Многомерные цепные дроби Регулярная и

хаотическая динамика. Т. 3. № 3. 1998. С. 10-17. [8] Pseudoperiodic Topology / V. Arnold, М. Kontsevich, Z. Zorich,

ed. - Providence, R. I.: AMS, 1999. - (AMS Translations. Ser. 2.

V. 197). (Advances in Mathematical Sciences. V. 46). - P. IX-XII,

9-27.

[9] B. Sturmfels. Grobner bases and convex polytopes. - Providence, R. I.: AMS, 1996. - (University Lecture Series. № 8). - P. 85-98.

[10] E. Коркина. Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. Т. 209. 1995. С. 143-166.

[11] В. О. Бугаенко. Уравнения Пелля. - М.: МЦНМО, 2001.- (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 13).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12]

0.0034