Главная Промышленная автоматика. jt = 3 + 1: + "г). 292 = -e). 1: + 2\ + - i: + .
довольно быстро*) к пониманию того, что эта арифметика является на самом деле геометрией. Далее я представлю некоторые сведения из теории цепных дробей и покажу, основываясь на экспериментальных принципах, геометрический смысл этих сведений: сначала в виде примера, а потом в виде формулировок теорем. Эта геометрия стала популярной около ста лет назад благодаря великому математику Герману Минковскому, который назвал её геометрией чисел. Предшественники Минковского пользовались этой теорией, не давая ей названия, и потому забыты. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ В основе геометрии чисел по Минковскому лежит школьная тетрадка в клеточку - плоскость, на которой нарисована координатная сетка. Рассмотрим прямую у = ах; возьмём для примера а = . Если а - рациональное число, то на этой прямой, кроме начала координат, будут еш;ё целые точки. В нашем случае прямая пройдёт через точку (7,10). Оказывается, построение цепной дроби числа а связано с нахождением целых точек, которые лежат близко от нашей прямой. А именно, имеется геометрический алгоритм, который мне объяснил (когда я учился на первом курсе) крупнейший российский математик Борис Николаевич Делоне. Он выразительно называл этот алгоритм «вытягиванием носов». Алгоритм позволяет строить ближайшие к прямой целые точки одну за другой и одновременно получать цепную дробь. Алгоритм «вытягивания носов» Пусть и - единичные векторы. Между ними расположена наша прямая (рис. 1). А теперь к вектору будем прибавлять до тех пор, пока не перескочим через нашу прямую. Иными словами, нужно найти наибольшее натуральное число , такое что конец вектора ё = = ё1 + йдё всё еш;ё ниже нашей прямой. В данном случае uq = 1. Продолжаем. Чтобы получить вектор е, прибавим к вектор (который уже построен), умноженный на коэффициент а. Коэффициент Ul выбираем так, чтобы не перескочить через прямую, т.е. *) Вся эта наука (включая «алгоритм Евклида» и теорию «пифагоровых троек» вроде 3 + 4 = 5) была известна древнеегипетским звездочётам за тысячи лет до Пифагора, Евклида и Эвдокса, сообщивших эти древние познания (в том числе строгую теорию иррациональных чисел) древним грекам. 0 [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.0029 |