Главная Промышленная автоматика.

jt = 3 +

1: + "г).

292 = -e).

1: +

2\ + -

i: + .

Рациональное приближение

Количество

числа л я 3,14159265358979324

совпавших цифр

~ 3,142

Ш« 3,14151

fff -3,1415929

«3,1415926530

«3,1415926539

~ 3,141592653467

3,1415926536

И «3,141592653581

ЗС4дЗ-3,141592653591

i§fl?« 3,1415926535894

fmg« 3,1415926535898

-3,1415926535897926

г2-1о19- ~ЗЛ415926535897934

« 3,14159265358979316



довольно быстро*) к пониманию того, что эта арифметика является на самом деле геометрией.

Далее я представлю некоторые сведения из теории цепных дробей и покажу, основываясь на экспериментальных принципах, геометрический смысл этих сведений: сначала в виде примера, а потом в виде формулировок теорем.

Эта геометрия стала популярной около ста лет назад благодаря великому математику Герману Минковскому, который назвал её геометрией чисел. Предшественники Минковского пользовались этой теорией, не давая ей названия, и потому забыты.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

В основе геометрии чисел по Минковскому лежит школьная тетрадка в клеточку - плоскость, на которой нарисована координатная

сетка. Рассмотрим прямую у = ах; возьмём для примера а = . Если

а - рациональное число, то на этой прямой, кроме начала координат, будут еш;ё целые точки. В нашем случае прямая пройдёт через точку (7,10).

Оказывается, построение цепной дроби числа а связано с нахождением целых точек, которые лежат близко от нашей прямой.

А именно, имеется геометрический алгоритм, который мне объяснил (когда я учился на первом курсе) крупнейший российский математик Борис Николаевич Делоне. Он выразительно называл этот алгоритм «вытягиванием носов». Алгоритм позволяет строить ближайшие к прямой целые точки одну за другой и одновременно получать цепную дробь.

Алгоритм «вытягивания носов»

Пусть и - единичные векторы. Между ними расположена наша прямая (рис. 1). А теперь к вектору будем прибавлять до тех пор, пока не перескочим через нашу прямую. Иными словами, нужно найти наибольшее натуральное число , такое что конец вектора ё = = ё1 + йдё всё еш;ё ниже нашей прямой. В данном случае uq = 1.

Продолжаем. Чтобы получить вектор е, прибавим к вектор (который уже построен), умноженный на коэффициент а. Коэффициент Ul выбираем так, чтобы не перескочить через прямую, т.е.

*) Вся эта наука (включая «алгоритм Евклида» и теорию «пифагоровых троек» вроде 3 + 4 = 5) была известна древнеегипетским звездочётам за тысячи лет до Пифагора, Евклида и Эвдокса, сообщивших эти древние познания (в том числе строгую теорию иррациональных чисел) древним грекам.








0 [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.0045