Теория цепных дробей связана с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики. В брошюре рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ей число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Рассказано также о том, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, ...). В заключительном разделе брошюры содержится обзор результатов, связаных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 9-11 классов 2 декабря 2000 года на Малом мехмате МГУ.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей, а отчасти она будет интересена и профессиональным математикам.

ISBN 5-94057-014-3

Арнольд Владимир Игоревич.

Цепные дроби.

(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"») М.: МЦНМО, 2000. - 40 с: ил.

Редакторы В. А. Клепцын, Е. Н. Осьмова. Фотограф П. А. Якушкин. Техн. редактор М. Ю. Панов.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати Ю/ХП 2001 года. Формат бумаги 60 х 88 Дg. Офсетная бумага № 1. Офсетная печать.

Объём 2,50 + 0,25 (вкл.) печ. л. Уч.-изд. л. 2,43. Тираж 3000 экз. Заказ 8610.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 121002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ. 140010, г. Люберцы Московской обл.. Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.

что ТАКОЕ ЦЕПНАЯ ДРОБЬ

Теория цепных дробей - одна из древнейших математических теорий. Чтобы показать, что такое цепная дробь, начнём с простого

примера. Возьмём дробь . Наибольшее целое число, не превосходя-

ш;ее эту дробь - это 1:

= 1.2, (<1).

«Перевернём» дробь уГ

10 = 1+1 = 1+ 1

7 7 7 •

Наибольшее целое число, не превосходяш;ее дробь - это 2. Получаем:

7 7 7

3 +3

Это и есть цепная дробь для числа которая, между прочим, даёт очень хорошие приближения: довольно близко к 1, но если хотите точнее, то это примерно 1 + , ну а 1 + - это точное значение.

Таким же способом можно представлять все числа. Если число иррациональное, то этот процесс будет продолжаться бесконечно, никогда не остановится, а для рациональных чисел дробь такого вида конечна.

Цепная дробь для числа л:

Что такое л?

в докладах Академии наук за 1935 год я читал две статьи биологов, в которых упоминалось число 7t. Одна статья называлась «Одолбящей деятельности дятлов», другая - «О фонтанирующей деятельности китов». В последней описывалась такая задача из практики китоловов. Допустим, вы заметили вдалеке фонтан кита и хотите определить, стоит ли отправляться на охоту за этим китом или количество мяса, которое вы добудете, незначительно. Для этого нужно было выяснить зависимость между фонтанирующей деятельностью и объёмом кита. Поэтому в статье была приведена формула

для объёма кита: V = жг1, где ;--оценка половины ширины кита, I - его длины (кит

считался цилиндрическим). И только было трудно объяснить китоловам, что такое it. В статье было такое объяснение: «... где л - константа, которая для гренландских китов равна 3». Но для китов других пород, по-видимому, нужно использовать другие значения.

Приближения числа п знали уже древние. Вот, например, очень хорошее приближение, которое связывают с именем Архимеда, но

22 1

которое было известно и до него: п~ = 3. В действительности, это

как раз начало цепной дроби, в которую можно разложить число п. Эта дробь бесконечна, и, беря всё более длинные начальные куски этой дроби, можно получать всё более точные приближения, см. с. 5.

Заметьте, что числитель дроби - всего лишь двузначное число, знаменатель - однозначное, а точность приближения, которое даёт эта дробь, - три десятичных знака (а). Шесть правильных десятичных знаков можно получить, оборвав эту цепную дробь дальше (в). Новое приближение - это отношение двух трёхзначных чисел. Вот правило, помогаюш;ее запомнить эту дробь: надо записать длинное число 113355, разбить его на два трёхзначных числа и разделить большее на меньшее. Получим:

"16

По моему мнению, математика и физика - части одной экспериментальной науки. Физикой называется та часть, где стоимость каждого эксперимента - миллиарды долларов, математикой - та, где эксперименты дёшевы. Кроме того, математика едина, её нельзя разделить на алгебру, геометрию и т. п. В частности, вычисления, которые мы проводили, возникли при изобретении календаря, когда дробью было отношение солнечного года и периода Луны. Ближайшее приближение к этому отношению - 12 (как 3 для л), далее идут всякие поправки: високосные годы; в григорианской системе, которая поправляет юлианскую, не только високосные годы, но и раз в сто лет еш;ё одна поправка, и раз в четыреста лет - еш;ё одна...

Так вот, все эти поправки в соизмеримость оказались особенно важны, когда начали развиваться небесная механика и астрономия. Например, соизмеримость периодов обращений Юпитера и Сатурна вокруг Солнца (отношение ~ 2 : 5) приводит к очень сильным возмущениям, которые сбивают планеты с их орбит. Это так называемые неравенства в движении Юпитера и Сатурна, которые имеют период около 800 лет. В расчёте таких периодов цепные дроби и связанные с ними приближения имели огромное значение и потребовали серьёзного развития математического аппарата. Это развитие привело