Рис. 16. а. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d<0. б. Разбиение полуплоскости параметров (6,с), бс. в. Линии уровня гамильтониана Я, соответствующие одному из уравнений семейства (12-) при fc<0, с<0. г,й. Фазовые портреты уравнений легких главных семейств, соответствующих нулевому значению параметра: г для областей 2, 3; д - для рбластей 2а, За

дом из «трудных» неисключительных семейств (13) при переходе параметра через некоторую линию с концом в нуле на плоскости Е происходит смена устойчивости особой точки с переходом пары собственных значений через мнимую ось и рождением цикла. Два семейства (13), отличающиеся лишь знаком перед /2, топологически неэквивалентны: в одном из них потеря устойчивости мягкая, а в другом - жесткая (см. § 2).

Область пространства (х, у, е), в которой существуют предельные циклы «главного локального семейства» (13), подходит к нулю узким языком. Замена времени, координат и параметров превращает «трудное главное семейство», рассматриваемое в этой области, в малое возмущение интегрируемого уравнения. Выпишем эту замену и это возмущение при Ь<0, с<0, Д>0. В этом случае интересующий нас язык на плоскости параметров расположен в полуплоскости ei<0.

Если -+=0, то система (12-) имеет первый интеграл (он

выписан ниже, после излкнения >1асштаба). Сделаем замену в пространстре параметров так, что один параметр будет измерять отличие возмущения от нуля, а произведение первого на второй - отклонение системы от интегрируемой

ei=-6, e2=6-f6}i. б>0.

После этого замена масштаба переменных и времени л: = 6к, у=60. т = бг переводит семейство (13) в семейство

м=м(-Н-и-fee),

v==vi + cu-V+iii+5f2(u,v,-1) (14)

При (6, р,)=0 система интегрируется; ее пертый интеграл Н и интегрирующий множитель т соответственно равны

1 - Ь \

I-с „ 1 - 6

где «=- Р = -•

В случае Л>0, а<0, р>0 и замкнутые линии уровня гамильтониана Н заполняют треугольник (рис. 16в). Соответствующую область значений Н обозначим через а. Фазовые кривые системы (14) -это интегральные кривые уравнения

где <ui=tt«-i©erfM, со2=««-»г)Р/2(«, v, -l)du. Предельные циклы возмущенного уравнения рождаются из замкнутой фазовой кривой ••:H=h невозмущенного уравнения, если интеграл

/ (С)= J d(i>, (D = fitui-f6CD2,

имеет при А = с простой нуль. Положим:

р р+1 р+2

/l(c)= J CfcOi, /2(С)= jc?C02. Же Я<с

Получим

ff<c

ff<c

Функции Л и /г линейно независимы на отрезке а; поэтому при подходящих (е, ц) интеграл / имеет, по крайней мере, один простой нуль на этом отрезке. Вообще, если k функций на отрезке линейно независимы, то существует их линейная комбинация, имеющая, по крайней мере, -1 простой нуль.

Теорема. Интеграл / имеет не более одного нуля на отрезке а.

Трудные семейства (13) при Ь>0, с>0 исследуются аналогично.

Замечание. Если вместо кубических членов ±yf2 в системе (13) дописать произвольные кубические члены, не выводящие систему из класса (10): xFzix, у), у02{х, у), где F2 и Gs-однородные многочлены второй степени, то предыдущее

построение приведет к семейству уравнений вида Я+<й=0, © = p,tui-}-6(u2, lsi2=m(vGu-uF2dv), m = tt"->iyP-i. (15)

Форма (1) является линейной комбинацией семи форм: nivdu, mn?du, mvbtdu, тшЫи, miiudv, mvudv, тиЫ-о. Дифференциалы этих форм порождают четырехмерное пространство. Поэтому пространство интегралов от линейных комбинаций этих форм по любому семейству замкнутых кривых не более чем четырехмерно. Однако оно не четырехмерно, а двумерно для рассматриваемого семейства кривых {H=h} (и потому нельзя заключить, что существует форма со вида (15), интеграл которой имеет три нуля на а, как утверждается в [158, стр.409]).