о=-7

Рис. 14. Локальные фазовые портреты главных 52-эквивариантных векторных нолей, соответствующих нулевому значению параметров, при бифуркации которых не рождается циклов

х=х{ах-\-Ьу- + -••). yy{cx + dy-r...).

Для типичных систем такого вида айфО. Растяжением осей и изменением, если нужно, знака времени, можно добиться равенств а==1, cf = l. Знак d играет существенную роль; рассмотрим системы

х=х{,х±Ьу-\-...), у==у{сх±у+...).

(11*)

Заменой (х, уу-*{у, х) можно добиться того, что в системе (11*) удет Ь>с; того же неравенства в системе (П") можно добиться той же заменой и обращением времени.

Положим: А-be-1. Системы (11"*"), Для которых ЬсД=0, и системы (11~), для которых b{b-1)с(с-1)=0, - исключительные; они не встречаются в типичных двупараметрических се-Л1ействах уравнений вида (10). Неисключительные системы (11+) и те неисключительные системы (11~), для которых Д<0, называются системами легкого типа; остальные неисключитель-яые системы (11") -трудного, типа.

Теорема. В типичном двупараметрическом семействе систем Лотка-Вольтерра (10) встречаются лишь такие деформации систем легкого типа, которые топологически эквивалентны одному из главных локальных семейств

x = x{£i-{-x±by), у=у{Е2+сх±у)

3-30

о-«-а

Рис. 15а. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d>0. б. Разбиение полуплоскости параметров.

(Ь,с), Ьс

С двумя параметрами ei и ег (топологическая эквивалентность сохраняет первый квадрант; допускаются обращения времени). Эти деформации, как и их нормальные формы (12=), топологически версальны. Два семейства (12-), соответствующие наборам (Ь, с) из одной «легкой» связной компоненты множества неисключительных значений, топологически эквивалентны. Главные деформации уравнений легкого типа не имеют циклов

в некоторой окрестности нуля, не зависящей от параметров. Бифуркационные диаграммы и перестройки в таких семействах изображены на рнс. 15 с, 16 с. А

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними - фазовые портреты; внизу-разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ьс, на классы топологической эквивалентности «легких» семейств (12*). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме - это номер соответствующего фазового портрета из нижней части; 2, 3... обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией {х, у) {у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х w у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс; при переходе через луч 111 (Пг) от особой точки на оси у (на оси д;) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12~) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра; множества 0-кривых соответствующие!; вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, д)

Для каждого неисключительного набора {Ь, с), прннадлет жащего одной из трудных компонент, существуют сколь угод но малые значения параметра, при которых уравнение (12~) имеет первый интеграл и целое семейство циклов. Такие уравнения не могут встречаться в типичных конечно параметричег ских семействах.

4.6. Главные деформации уравнений трудного типа в зада-г че о двух мнимых парах (по Жолондеку).

Теорема. Росток в нуле типичного 2-параметрического семейства «трудного типа» приводится к нормальной форме «трудному главному семейству»

xxiEi+x-by), у = У{г2-{СХ - у±/2{х, у. 8,)).

Уравнения «трудного главного семейства» имеют не более одного цикла в некоторой окрестности нуля, общей для всех уравнений семейства. Здесь /г - однородный многочлен второй степени от трех переменных с коэффициентами, зависящими от b и с; точный вид его указан ниже. ▲

Остановимся подробнее на построении и исследовании трудных главных семейств. Замена переменных и умножение на положительную функцию не меняют топологии фазового портрета. Поэтому в семействе (13) оставлены кубические члены, «дополнительные» к тем, которые можно уничтожить заменами переменных и времени в системе (И) (Тем же способом построено главное 52-эквиварнантное семейство в п. 4.4.) В каж-

3* 35