Главная Промышленная автоматика.


Рис. 75. Эволюция .чикла при f(x)=r+x:

а) большой цикл; б) «утка с головой»; в) г)«утки без головы»; д) е) бифуркация-

исчезновешш цикла


Рис. 76. Эволюция цикла при f{x)==x-x+x:

а) большой цикл; б)-в) бифуркация рождения (малого неустойчивого) цикла; в) асим-пто-гачесжи неустойчивый цикл внутри асимптотически устойчивого; г) слияние устойчивого и неустойчивого циклов я их исчезновение; д) - «лестница» с фиксированными сту1пеням1и; е) устойчивая особая точка

вующего уравнения стремятся к устойчивому положению равновесия, а для значений а, лежащих на интервале между экстремумами и достаточно удаленных от его концов,-к устойчивому циклу, расположенному на расстоянии 0(6/2) от цикла, изображенного на рис. 75а. Оказывается, что с изменением а в семействе уравнений (11е,а) при e = const притягивающее решение уравнения меняется непрерывно и на малом (порядка ехр(-1/е)> интервале изменения а оказывается близким к решениям-уткам вырожденной системы. Соответствующие решения уравнения (Не.а) также назьюают решениями-утками. На рис. 75 показана перестройка решений-уток в семействе (Пе.с) для f (х) = х +х, а на рис. 76-для /{х) = х - х-\-х. На рис. 77 заштрихована область пространства параметров на плоскости (е, а), соответствующая решениям-уткам.

При прохождении а через О в отрицательном направлении особая точка (О, 0) теряет устойчивость. От знака /"(0) зависит, будет ли потеря устойчивости мягкой или жесткой: при




Рис. 77 Область «уточных» значений параметров (г, а) заштрихована Ниже этой области - большой цикл, иыше - устойчивая особая точка. Линия л = О -линия бифуркации рождения - исчезновения 1"(0)>0, а) Г(0)<0, б) Г(0)>0

цикла. Г(0)=0,

f"{0)>0 потеря устойчивости - мягкая, с рождением малого устойчивого цикла; при f"(0)<0 - жесткая, с исчезновением малого неустойчивого цикла. Эта бифуркация, происходящая вне области параметров, соответствующих решениям-уткам, показана на рис. 75г , д и рис. 766, а. 5.2. Существование решений-уток.

Определение. Назовем простой вырожденной уткой ориентированную связную кривую, состоящую из трех дуг: первая и последняя - это интервалы фазовой кривой уравнения быстрых движений, а вторая - это дуга медленной кривой, состоящая из связного устойчивого и связного неустойчивого участков (рис. 78); сначала проходится устойчивый, а затем - неустойчивый участок.

Теорема 1 (существование уток в окрестности складки). Рассмотрим систему

х==/ {X, у, а), £/= eg [х, у, а). (12», а)

Пусть при любом фиксированном а медленная кривая соответствующей быстро-медленной системз! имеет точку складки, через которую с ненулевой скоростью проходит особая точка системы при прохождении а через 0. Тогда для каждоЭ простой вырожденной утки, проходящей через точку складки, существует функция Л:еь->Л(е), Л(0)=0, такая, что уравнение (12е,л(е)) и.меет решение, фазовая кривая которого стремится к вырожденной утке при еО.

Теорема 2 (существование уток в окрестности самопересечения). Пусть при а=0 медленная кривая системы (12в,а)




Рис. 78. Простые вырожденные утки

имеет простую точку самопересечения, и в этой точке выполнено условие dffdaO. Пусть функция g нигде не обращается в нуль. Тогда для каждой простой вырожденной утки, проходящей через точку самопересечения, справедливо заключение теоремы 1.

Теорема 3 (жизнь уток коротка). Пусть Аг и Ag-две функции из теоремы 1 либо 2, соответствующие двум вырожденным уткам. Тогда существует такое с>0, что Ai(e) - л2(е)< g-\lcz для gcex достаточно малых е.

Все функции А (е), соответствующие уткам, имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням е. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через производные функций / и g в критической точке. Аналогичное утверждение справедливо для самих решений-уток: на участке медленного движения они экспоненциально близки. Более того, пусть имеются две простые вырожденные утки, две (возможно совпадающие) функции Ai(b) и 2(8) и два семейства решений системы (12е,лЕ)), i = l,2, фазовые кривые которйх сходятся к соответствующим вырожденным уткам. Возьмем отрезки этих фазовых кривых, сходящиеся к дуге медленной кривой, которая образована пересечением медленных дуг двух вырожденных уток, с последующим удалением фиксированных окрестностей концов этого пересечения. Тогда найдется такое с>0, что один из отрезков фазовой кривой лежит в е-/ - окрестности другого для всех достаточно малых е. Все медленные участки всех решений-уток имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням е. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через функции / и g и их производные.

5.3. Эволюция простых вырожденных уток. Фиксируем начальную точку (хо, уй), не лежащую на медленной кривой, такую, что выходящий из нее отрезок быстрого движения при-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69

0.0035