меньшей мере, пока т<т+-б(е), б(е)-0+ при Для вычис-

ления в этом случае асимптотического момента срыва следует рассмотреть поведение медленного решения и собственных чисел на кривой L. - дуге линии уровня КеЧ(т) = const, с концами т~ и т"*".

в ряде примеров т" оказывается асимптотическим моментом срыва для всех движений с лежащим левее т~ асимптотическим моментом падения.

Пример 1. Рассмотрим линейную неоднородную систему

z = {y - i)z + ea{y), z = Xi-\-ix2,

Пусть функция а (у) аналитична при 1тг/<2. Медленное решение 2=0, y=et~r пересекает границу устойчивости при г=0. Собственное значение ki=r-i обращается в нуль при r-i, дуга L. состоит из двух отрезков, соединяющих точки т~=-1 и т+=1 с точкой t = i (т - от critical). Пусть асимптотический момент падения то для быстро-медленного решения z{t) лежит левее -1. Тогда г(-1/е)=0(е). Чтобы вычислить 2(1/е), удобно перейти на плоскости т из точки -1 в точку 1 по дуге Lt. Для г получается линейное уравнение с чисто мнимым собственным числом, обращающимся в нуль при t=i. Вдали от точки i величина г испытывает лишь колебания порядка е. Существенное изменение \z\ набирается в окрестности точки i и легко подсчитывается методом стационарной

фазы. Получается z(l/e)=y2rce c(i)-fO(e). Если аЩфО, то т* = 1 - асимптотический момент срыва.

Пример 2. Добавим к предыдущей системе нелинейные члены и положим а=1:

z = {y-i)z-rt + z\z\, Y=const,

у=е.

Доказано, что нелинейность не оказывает существенного влияния на срыв с медленного решения z=0, у=% [116]. Опять т+=1 является асимптотическим моментом срыва для движений, у которых асимптотический момент падения лежит левее т~=-1. В медленной системе потеря устойчивости при у<0 происходит мягко, а при у>0 - жестко. В полной системе это различие не проявляется.

Дуга L, характеризуется тем, что на ней нарушается одно из введенных выше условий 1-4. В рассмотренных примерах нарушается условие КхФО. Соответствующие системы нетипичны, поскольку для них медленная поверхность остается регулярной при обращении h в нуль. Для типичной системы в той точке, где Я,1 (г/(то)) = О, медленное решение выходит на складку

медленной поверхности, и имеет ветвление типа Ут-то. Правдо-198

подобно, что и в этом случае при некоторых условиях общности лоложения фазовые точки, притянувшиеся к медленной поверхности при т<т~, срываются с нее почти одновременно при т=т+; это предположение высказано в [90].

4.7. Затягивание при потере устойчивости циклом. Аналогичные явления затягивания сопровождают в аналитических системах потерю устойчивости циклом. Пусть быстрая система имеет при каждом у невырожденный цикл Ly. Эволюционная система для у получается усреднением подсистемы для у в (2) по фазе движения вдоль цикла Ly [95]. Обозначим у=У{х), x=Et - решение эволюционной системы, У{то)=Уо.

Пусть цикл Ly устойчив, его мультипликаторы лежат в единичном круге. Фазовая точка быстро-медленной системы, начавшая движение при т=То достаточно близко от цикла Ly, быстро втягивается в 0(e) - окрестность эволюционирующего цикла Lr(t) и остается в ней, пока сохраняется устойчивость [95]. Предположим, что при некотором т=т цикл Lk(t) теряет устойчивость так, что либо пара мультипликаторов пересекает единичную окружность в сопряженных точках, либо один мультипликатор - в точке ( - 1), а остальные мультипликаторы остаются в единичном круге. Оказывается, что потеря устойчивости при т>т затягивается: при т-т~1 точка все еще будет находиться в 0(e) - окрестности цикла Lr{r), и лишь затем происходит срыв. В неанаяитической системе такого длительного затягивания, вообще говоря, не будет.

4.8. Затягивание потери устойчивости и «утки». Рассматриваемая проблематика сходна с теорией «уток» (см. § 5). Быстро-медленная траектория типа «утки» также долго движется вдоль неустойчивого куска медленной поверхности после перехода через линию вырождения равновесий. Но «утки» встречаются в системе, зависящей от дополнительного параметра относительно редко: они существуют для экспоненциально малого интервала значений этого параметра.

Для затягивания при потере устойчивости невырожденным равновесием (циклом) параметров подбирать не надо. С другой стороны, «утки» существуют в системах с конечной гладкостью, а затягивание п.п. 4.1-4.6, вообще говоря, только в аналитических.

§ 5. Решения-утки

Фазовые кривые быстро-медленных уравнений могут при е-0 в некоторых специальных случаях стремиться к кривым, состоящим не только из участков быстрого движения и устойчивых дуг медленной кривой, но содержащим также и неустойчивые дуги. Эти предельные кривые называются утками из-за своей формы (рис. 75). Коразмерность соответствующего мно-

жества в функциональном пространстве релаксационных систем с одной быстрой и одной медленной переменной равна 1 (оно включает системы с самопересекающейся медленной кривой и с особой точкой медленной системы на складке медленной кривой). Тем самым, утки встречаются неустранимым малым шевелением образом (при отдельных значениях параметра) в типичных однопараметрических семействах релаксационных систем с одной быстрой и одной медленной переменной (кроме параметра медленности е, для возникновения уток нужен еще один Параметр).

При большем числе медленных переменных утки встречаются и у типичных систем.

5.1. Пример: особая точка на складке медленной поверхности. Рассмотрим семейство

x = y - f{x), у=е(а -л;)

(1U.«>

с параметрами е и с, которое при каждом фиксированном а-представляет собой быстро-медленное уравнение типа (2) (§ 1).

Рис. 74. Фазовые кривые вырожденной системы: а) a:i<a<0 (большой цикл); ft). а=0 (?); в) а>0 (устойчивая особая точка)

Пусть график функции f напоминает график кубического многочлена (рис. 74). Тогда фазовые кривые вырожденной системы такие, как на рис. 74с, б, в при Xi<c<0, с = 0 и с>0 соответственно. При с=0 через одну точку может проходить много разных фазовых кривых вырожденной системы: фазовая кривая с началом в особой точке на складке медленной кривой может совпасть с этой точкой, с проходимым бесконечное число раз циклом, выделенным жирной линией на рис. 746, а Может также оказаться в особой точке на складке после конечного числа обходов цикла.

Рассмотрим однопараметрическое подсемейство (П„) данного семейства (Ие.а), соответствующее множеству e=const. Тогда если а>0 велико, по сравнению с е, то все решения соответст-