Главная Промышленная автоматика.

Л;, = 2-;-0,77937Л-"- ~-0,87Ш-2-\-О{%-\

В случае системы (2) порядка п>2 асимптотические при представления для замкнутой траектории релаксаци-•онного колебания и его периода Ге вычислены с точностью до членов порядка 0(e) [94], [86]; при этом предполагается, что -точки срыва - общего положения (см. п. 3.2).

§ 4- Затягивание потери устойчивости при переходе пары собственных значений через мнимую ось

В этом параграфе рассматриваются системы с медленно меняющимися параметрами, в которых, при изменении параметра, положение равновесия мгновенной системы теряет устойчивость с прохождением пары собственных значений через мнимую ось.

Явление затягивания состоит в том, что фактический уход •фазовой точки от потерявшего устойчивость положения равновесия происходит не сразу после потери устойчивости, а спустя некоторое время, за которое (в аналитической системе) параметр успевает измениться на конечную величину.

Аналитичность здесь существенна, так как в типичных системах конечной (и даже бесконечной) гладкости срыв происходит через время, за которое параметр не успевает заметно измениться.

Более общим образом мы рассматриваем быстро-медленные системы, для которых особая точка уравнения быстрых движений при изменении медленных переменных теряет устойчивость с переходом пары собственных значений через мнимую ось. Для аналитических систем общего положения положительные полутраектории из некоторой области фазового пространства стремятся при еО к фазовым кривым вырожденной системы, имеющим сравнимые по длине участки, один из которых расположен на устойчивой, а другой - на неустойчивой части медленной поверхности. Этим описываемые движения сходны с «утками», рассмотренными ниже, в § 5.

4.1. Типичные системы. Рассмотрим класс быстро-медленных систем (2), медленная поверхность которых состоит из регулярных точек (диффеоморфно проектируется на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых). Потре-буем также, чтобы множество негиперболических положений равновесия системы быстрых движений состояло из точек с двумерным центральным многообразием и парой ненулевых собственных значений на мнимой оси. Такие системы назовем системами типа 2. Эти системы образуют открытое множество в подходящем функциональном пространстве.



Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области - устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая - из неустойчивых; их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными; ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности.

4.2. Затягивание потери устойчивости. Фазовая точка исходной системы типа 2, начавшая движение не слишком далеко от правильной точки, лежащей на устойчивой части медленной поверхности, быстро, за время порядка 1пе втягивается в 0(e)-окрестность (окрестность размера порядка е) медленной поверхности (рис. 72). Затем движение происходит вблизи медленной траектории по меньшей мере до тех пор, пока эта траектория не выйдет на границу устойчивости. Если быстро-медленная система (2) аналитична, то при дальнейшем движении обязательно осуществляется интересное и несколько непривычное явление - затягивание потери устойчивости быстрых движений. Оно состоит в том, что фазовая точка движется вдоль неустойчивой части медленной поверхности в О (е) - окрестности медленной траектории еще время порядка е~* после пересечения медленной траекторией границы устойчивости. При этом медленная траектория уходит за границу устойчивости на расстояние порядка единицы. Лишь затем может произойти срыв, то есть быстрый, за время порядка 11пе (медленные переменные меняются на малую величину порядка е1пе), уход от медленной поверхности на расстояние порядка 1 (рис. 72). Это явление было обнаружено и исследовано на примере в [Иб], общий случай рассмотрен в [90].

Если система имеет конечную гладкость (или даже бесконечную, но не аналитична), то столь длительного затягивания потери устойчивости, вообще говоря, не будет. В классе С*, k>\, есть открытое множество систем, у которых точки уходят от медленной поверхности на расстояние порядка 1, перейдя за границу устойчивости на малое расстояние порядка Уе1пе. Если k=co, то уход за границу устойчивости остается меньшим, чем Ж (е) У е In е , где Л1(е)-со, е-н-О, но Ж(е) может возрастать сколь угодно медленно. В этих системах срыв с медленной поверхности происходит вблизи границы устойчивости на расстоянии порядка г<4. С другой стороны, в системе





Рис. 72. Затягивание потери устойчивости в системе типа 2 для двух быстрых и одной медленной переменной. Медленная кривая совпадает с осью у,, крестиком помечена граница устойчивости

класса С*, можно гарантировать, что точка останется в 0(e) - окрестности медленной поверхности, перейдя не менее чем на расстояние порядка ]/е1пе за границу устойчивости. Для k-оо эта оценка заменяется на Ж(е) {/е1пе.

4.3. Жесткость потери устойчивости в аналитических системах типа 2. Потеря устойчивости в аналитических быстро-медленных системах типа 2, описанная в п. 4.2, проходит всегда жестко, независимо от того, будет ли мягкой или жесткой потеря устойчивости в семействе быстрых уравнений при изменении параметра семейства (медленной переменной) вдоль фазовой кривой медленного движения. Рассмотрим следующий пример, соответствующий открытому множеству быстро-медленных систем типа 2. Без ограничения общности можно считать, что медленная поверхность имеет вид х=0, поскольку она диффеоморфно проектируется на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых; проектирование (х, у)*у обозначим через гс. Пусть г/(т)-решение медленной системы, фазовая кривая которого в момент г=0 переходит из устойчивой части медленной поверхности в неустойчивую. Пусть в соответствующем быстром семействе x=f{x, у{%)) с





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0034