Главная Промышленная автоматика.

Решение, соответствующее приближающей фазовой кривой, называется приближающим. Предложение 3. Система

имеет единственную приближающую фазовую кривую.

А В [94] и [86, §§ 9, 10] доказано, что эта система имеет решение ((т), Г1(т)) вида:

г](т)=-т, (r) = -Y~x + 0{\) при т<0,

5(т)->оо при Т->То,

где То - некоторая положительная константа. Соответствующую фазовую кривую обозначим -у; ее положительную полутраекторию обозначим у*, отрицательную - у-. Кривая у называется разделяющей, поскольку все решения с начальным условием выше у стремятся к бесконечности при т--оо, а все решения с начальным условием ниже у уходят на бесконечность при убывании т за конечное время (рис. 71).


Рис. 71. Фазовые кривые системы первого приближения в случае одной быстрой и одной медленной переменной. Приближающая фазовая кривая выделена

Пслутраектория-у расположена в вертикальной полуполосе, принадлежащей верхней полуплоскости. При диффеоморфизмах эта полуполоса сужается, и в пределе превращается в положительную полуось -фазовую кривую быстрой системы.

Полутраектория при диффеоморфизме /-i превращается

в кривую



{{-Vy-rOiii), y\y>0}

и при л о приближается к устойчивой части медленной кривой. ► Предло жение 4. Система

имеет приближающую фазовую кривую, определенную однозначно с точностью до сдвига вдоль оси S.

4 Соответствующее решение кыеет вид: ((т), г](т), S(t)), где (I (т)» *! (у)) - приближающее решение из предложения 3, а t (т) = - -д-(-т)2--0(т) при т-> - оо. Это равенство следует

из формулы для (т) и уравнения S=-£. Входящая в О по устойчивой части медленной поверхности фазовая кривая медленного уравнения, соответствующего системе (7), имеет вид

- л;зх<о. Дальнейшее доказательство аналогично предыдущему. ►

Замечания. 1. Система первого приближения в случае 2 не имеет приближающей фазсвой кривой, однако имеет семейство отрицательных полу траекторий, получаемых друг из друга сдвигом вдоль оси S, которые под действием сжатия f~ стремятся

при р,->0 к кривой л, --бл; л;<о. Эта кривая имеет высокий порядок касания с фазсвой кривой медленного уравнения, соответствующего системе (8): бл;(1 -х)~х<о,

заканчивающейся в точке 0: их 7-струи coвпaдaют

2. Фазовые кривые быстро-медленной системы вблизи особой точки на складке медленной поверхности при стремлении е к нулю могут стремиться к вырожденным уткам (см. § 5).

3.6. Воронки.

Определение ([204]). Точка р на границе устойчивой частн медленной поверхности назьшается воронкой, если в любой ее окрестности существует область, через точки которой проходят фазовые кривые вырожденной системы, срывающиеся с поверхности медленных движений в точке р.

Пример. Особая точка уравнений медленных движений типа сложенный узел (рис. 686) является воронкой. Результаты пункта 2.5 показывают, что такие воронки неустранимы малым шевелением быстро-медленной системы.

Теорема ([204]). Типичные системы со связями в случае трех и более медленных переменных воронок не имеют.

3.7. Периодические релаксационные колебания на плоскости.

Теорема ([71]). Пусть правые части двумерной системы общего положения



x==F{x, у, г), у = гО (х, у, г), . .

непрерывно дифференцируемы; функция F дважды, а функция G - один раз. Предположим, что соответствующая вырожденная система

/(д;, у)=0, y=-g(;,y) (3bls)

имеет замкнутую фазовую кривую Lq. Тогда существует число ео>0 такое, что при каждом значении параметра еб(0, ео) найдется малая вместе с е окрестность траектории Lo, в которой лежит единственный и устойчивый предельный цикл системы (2bis), причем стремится к Lq при

Например, уравнение Ван дер Поля имеет один единственный устойчивый предельный цикл, близкий к изображенному пунктиром на рис. 64.

Для предельного цикла из предыдущей теоремы найдены асимптотические приближения с точностью до величин наперед заданного степенного порядка малости по г.

Теорема ([86]). Пусть правые части двумерной системы (2 bis) общего положения бесконечно дифференцируемы. Предположим, что соответствующая вырожденная система имеет замкнутую траекторию Lo, причем в каждой ее точке срыва р выполнено условие (р) =?0. Тогда для периода Те релаксационного колебания, отвечающего предельному циклу Le, справедливо асимптотическое разложение при еО:

оо я (ft-2)

ft=2 v=0

где л-целочисленная функция целочисленного аргумента:

п\ , /€, если l(mod3), n(«)=LJ-i-\l, если ;fe = l(irod3),

а 7*,v--числовые коэффициенты, эффективно вычисляемые (без интегрирования системы (2 bis) или (3bis)) как значения вполне определенных функционалов от функций f{x, у), g{x, у) и кривой Lo. Асимптотические разложения амплитуды

л:-компоненты и амплитуды У\ «/-компоненты релаксационного колебания имеют такую же структуру, как и асимптотическое разложение для периода Т.

Первые четыре члена разложений для Ге дают асимптотические при Х-оо формулы Дородницына [б9], [70] для периода Тх и амплитуды X,, периодического решения уравнения Ван дер Поля

х-Х{\-х)х + х=0:

2 ЫХ

Тк = 1.613706Л + 7,01432Л-" -1 -1,3233Л- + О {Х~"%





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0036