Разбиение сложенного зонтика фьхю- на линии уровнл гладкой (аналитической) функции общего положения диффеоморфно (С", аналитически) разбиению на плоские сечения «4--f y-f iiy=const.

Сложенный зонтик впервые появился в теории особенностей по своему другому поводу (как особенность бикаустики, заметаемой ребрами возврата движущихся каустик, см. [22]). Проведенный выше анализ в этих терминах означает исследование разбиения бикаустики на мгновенные ребра возврата каустик. Сложенным зонтиком эта поверхность названа потому, что она получается из цилиндра над полукубической параболой, лежащего в трехмерном пространстве, при отображении складывания общего положения трехмерного пространства в трехмерное. Сложенный зонтик появляется также в качестве одной из компонент границы многообразия фундаментальных систем решений скалярных линейных уравнений (М. Э. Каза-рян, 1985).

§ 3. Асимптотика релаксационных колебаний

В этом параграфе исследуется асимптотика по параметру решений уравнения с быстрыми и медленными движениями при стремлении параметра к нулю. Здесь рассматриваются только такие системы, в которых особые точки уравнения быстрых движений теряют устойчивость с изменением медленной переменной в результате обращения в нуль одного (и только одного) из собственных значений линеаризации. Другими словами, уравнение быстрых движений при любом значении медленной переменной имеет не более чем одномерное центральное многообразие. Медленная поверхность в этом случае распадается на устойчивую и неустойчивую части, разделенные «точками срыва» - критическими точками проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых. Такие уравнения назовем уравнениями типа 1 в знак одномерности центральных многообразий.

3.1. Вырожденные системы. Рассмотрим систему (2) типа 1:

л: = F (л, у, е), i/= eG (ж, у, е). (2)

Соответствующая ей вырожденная система типа 1 - это система

/(ж, 1/)=--=0, yg(x,y),

(где

/ (х, y)=F (X, у,0), g{x, y) = G(x, у, 0).

Фазовая кривая вырожденной системы - это такая ориентированная кривая, которая состоит из чередующихся участков быстрых и медленных движений, причем временная ориентация на быстрых и медленных участках совпадает с ориентацией всей кривой.

Фазовые кривые вырожденной системы подразделяются на регулярные фазовые кривые и вырожденные утки. Регулярная фазовая кривая содержит только такие участки медленного движения, которые расположены на устойчивой части медленной поверхности; вырожденные утки содержат дуги медленных фазовых кривых, расположенные на неустойчивой части.

До последнего времени в теории релаксационных колебаний изучались такие быстро-медленные уравнения типа 1, фазовые кривые которых, проходящие вблизи точки срыва, при е-»-0 стремились к регулярным фазовым кривым вырожденной системы. Однако недавно обнаружилось, что для некоторых быстро-медленных уравнений фазовые кривые, близкие к точке срыва, при е-»-0 могут приближаться к вырожденным уткам. Подробнее об этом сказано в § 5.

Теорема ([86], [94]). Пусть (х, у)=р - точка складки медленной поверхности быстро-медленной системы (2) типа 1 (то есть системы с не более чем одномерными центральными многообразиями положений равновесия быстрых движений). Пусть вектор G{x, у, 0) трансверсален проекции складки на базу вдоль слоев (то есть проекции складки на пространство-медленных переменных вдоль пространства быстрых). Пусть, кроме того, этот вектор направлен наружу по отношению к проекции медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Тогда существует такая окрестность U точки р в фазовом пространстве, что для любой точки q(iU связная компонента пересечения окрестности U с положительной полутраекторией системы (2) с началом q при е->0 стремится к регулярной фазовой кривой вырожденной системы.

В условиях теоремы вычислена асимптотика решений вблизи точки срыва с точностью до 0(e) [86], [94].

3.2. Системы первого приближения. Произведем замену масштаба в окрестности точки срыва. Коэффициенты растяжения и размеры окрестности зависят от параметра е системы. (2) так, что при стремлении параметра к нулю образ окрестности при растяжении содержит любой компакт, начиная с достаточно малого (зависящего от компакта) значения параметра. Цель этого построения состоит в том, чтобы, проведя в системе (2) замену переменных, времени и параметра, получить в пределе при е->0 систему, в которой все движения происходят в одном масштабе времени (так называемую систему первого приближения).

Пример 1. Случай одного быстрого и одного медленного переменного.

Предложение 1. Типичная система (2) с одной быстрой и одной медленной переменной расслоенным диффеоморфизмом окрестности точки срыва может быть превращена в такую, которая при замене

x=iiXi, y = liyi, т=р, е=рЗ

переходит в систему

Xixj - yi+0{ii), У1= -H-O(u),

заданную в области л;<1, у<1.

Соответствующая система первого приближения имеет вид.

х = х-у, у=-\.

Предложение 1 доказано в [94] и [86, § 8]. Пример 2. Случай одного быстрого и двух медленных переменных.

Предложение 2. Типичная система (2) с одной быстрой и двумя медленными переменными расслоенным диффеоморфизмом окрестности точки срыва на складке медленной поверхности может быть приведена в такую, которая при линейной замене координат /ц, замене времени t-nt и замене параметра е = е(р) переходит в систему, совпадающую с точностью до членов порядка 0(л) с системой первого приближения в кубе л;1<1, «/i<l, zi<l. Замены и е{ц), а также системы первого приближения выписаны ниже (см. табл. 1,. стр. 186).А

В таблице х - быстрое переменное, у и z - медленные, ось z направлена вдоль складки медленной поверхности, ось у ей перпендикулярна. Во втором и третьем столбцах приведены нормальные формы из п. 2.5; фазовые кривые медленного-уравнения заданы либо первым интегралом, либо соответствующим полем направлений. Предложение 2 доказано в п. п. 3.3,. 3.4.

Замечание. Уравнение d/dri = -г\ - одно из простейших уравнений, не интегрируемых в квадратурах.

3.3. Нормализация быстро-медленных уравнений с двумя медленными переменными при е>0.

Теорема. Типичное быстро-медленное уравнение с двумя медленными переменными и одной быстрой в окрестности любой точки на складке медленной поверхности при всех достаточно малых значениях е расслоенным диффеоморфизмом, гладко зависящим от е, может быть превращено в систему

x = F {X, у, Z, е), y = Gi{x, у, Z, е), z = G2{x, у, z, е),

для которой поверхность F=0 имеет вид у=х, а поле направлений, полученное на этой поверхности, как след поля