(рис. 56). При четырех медленных переменных впервые появляются более сложные особенности (с двумерным ядром), но список остается конечным вплоть до 9 медленных переменных.

2.3. Медленное движение систем с одной медленной переменной.

Теорема. В окрестности точки срыва уравнение медленных движений системы общего положения с одной быстрой и одной медленной переменной расслоенным диффеоморфизмом медленной кривой приводится к виду

у=х\ у= ±1+хЛ(1/),

причем А является инвариантом действия группы таких замен. Приводящий диффеоморфизм гладок (аналитичен) для гладкой (аналитической) системы.

Следствие. Медленное движение приводится к виду у= = ±:t+Pa{t), а если допустить С~-замены времени - то к виду

Доказательство теоремы и следствия из нее: 1°. Представим медленное уравнение в виде

у = х\ у=Ь{у)-\-ха{у).

Это равносильно разбиению функции g{x, х) на четное и нечетное слагаемые. Для системы общего положения b {0)фО. Заменой

y = z{co + CiZ-r...), xu{do+diU-r ...) медленное уравнение можно привести к виду

z = v?, z= ±\-\-uA(z).

Два медленных уравнения с разными А не переводятся друг в друга послойными диффеоморфизмами медленной кривой, поскольку отношение {\+uA{z))/{\-uA{z)) инвариантно относительно таких диффеоморфизмов. Это доказывает теорему.

2°. Уравнение медленного движения можно записать в виде (пишем снова {х, у) вместо {г, и)):

2 rf 2х dx " ±\ + хА{у) •

Отсюда

t{x)= ±х-гХВ{х). У{х)==х.

По теореме Дюфура [140] С"-заменами z+z{y), x=r{t) пару функций t, у (для системы общего положения) можно

привести к виду

z(x) =х.

Следствие доказано.

Замечание. Аналогичная нормализация с помощью аналитической замены, как правило, не возможна [56].

2.4. Медленное движение систем с двумя медленными переменными. В этом случае можно довольно подробно изучить семейство фазовых кривых медленного движения: вопрос сводится к теории дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Для простоты мы считаем, что быстрая переменная одна. Медленное движение в системах общего положения с любым числом быстрых переменных и всего двумя медленными такое же, как в случае с одной быстрой переменной. Действительно, для систем общего положения менее чем с четырьмя медленными переменными ядро проектирования медленной поверхности одномерно.

Поэтому все быстрые переменные, кроме одной, можно выбрать так, что они будут равны нулю на всей медленной поверхности (см. выше п. 2.2). Поведение системы при ненулевых значениях этих переменных не сказывается на медленном поле, поэтому при исследовании медленного движения о них можно забыть.

Итак, пусть пространство Е расслоения Е-В трехмерно, база двумерна, а слои одномерны. В каждой точке этого трехмерного пространства имеется вертикальное направление (касательное слою, вдоль которого обе медленные переменные постоянны). В неособых точках возмущающего поля" имеется еще-его направление. Особые точки для систем общего положения не лежат на медленной поверхности. Поэтому мы их не рассматриваем, и в интересующих нас точках пространства Е заданы два поля направлений: вертикальное и возмущающее.

Для систем общего положения эти поля коллинеарны лишь в точках некоторой гладкой кривой, и эта кривая трансверсально пересекает медленную поверхность в ее регулярных точках.

Эти точки пересечения - положения равновесия медленного уравнения. Поскольку они регулярны, это обычные особые точки гладкого (медленного) векторного поля на поверхности (узлы, седла, фокусы). К их исследованию применима обычная локальная теория [26].

Нас же интересуют особые точки проектирования медленной поверхности. В этих точках наши поля направлений некол-линеарны. Следовательно, они порождают гладкое поле плоскостей.

" Возмущающее поле-это значение производной возмущенного поля по малому параметру е при в=0.

Гладкое поле плоскостей общего положения в окрестности точки общего положения задает контактную структуру (если поле задано как поле нулей 1-формы а, то 3-форма a,/\da. невырождена).

Точки вырождения контактной структуры, задаваемой полем плоскостей общего положения в трехмерном пространстве, образуют поверхность. Эта поверхность вырождения контактной структуры для системы общего положения трансверсально пересекается с медленной поверхностью по кривой. Более того, юна может в отдельных точках трансверсально пересекать гладкую кривую нерегулярных точек проектирования медленной поверхности (кривую складок). Для системы общего положения точки пересечения будут именно точками складки, а не сборки.

Рассмотрим теперь следы построенного выше поля плоскостей в трехмерном пространстве на медленной поверхности.

Плоскость поля пересекает касательную плоскость медленной поверхности в регулярной точке по направлению медлен-лого поля. Поэтому следы построенного поля плоскостей образуют в регулярной части медленной поверхности в точности поле направлений медленного движения.

Это поле направлений продолжается и на линию критических точек проектирования в виде гладкого поля направлений. Особенности оно имеет лишь в тех местах, где плоскость поля касается медленной поверхности. Это может случиться для системы общего положения лишь в отдельных точках. Такие точки лежат обязательно на кривой складок, так как плоскость поля содержит вертикальное направление.

Для систем общего положения эти отдельные точки не будут ни точками сборки, ни точками вырождения контактной структуры.

Итак, фазовые кривые медленного движения являются частями интегральных кривых поля следов построенных выше плоскостей на медленной поверхности. Это поле направлений на медленной поверхности вертикально на линии критических точек проектирования (ибо и поле плоскостей, и касательная медленной поверхности в этих точках содержат вертикаль), и может еще иметь отдельные особые точки на этой линии (не в сборках и не в точках вырождения контактной структуры).

Ниже описаны нормальные формы, к которым приводятся интегральные кривые построенного поля направлений на медленной поверхности (а следовательно, и фазовые кривые медленного уравнения) расслоенными диффеоморфизмами.

2.5. Нормальные формы фазовых кривых медленного движения. В окрестности точки складки медленная поверхность расслоенным диффеоморфизмом приводится к виду у=х, где X - быстрая, переменная, у - медленная; вторую медленную переменную обозначим z.