левой полуплоскости в правую. Это явление наблюдается, вообще говоря, в некоторых регулярных точках медленной поверхности, образующих на этой поверхности подмногообразие коразмерности один (подробнее об этом см. § 4). На подмножествах большей коразмерности происходят и более сложные явления, например, сочетание нулевого корня с мнимой парой и т. д.

в обоих случаях возмущенные движения после потери устойчивости соответствующего состояния равновесия быстрого движения срываются с медленной поверхности, но их дальнейшие судьбы, вообще говоря, различны.

В первом случае (исчезновение равновесия) потеря устойчивости всегда является «жесткой»: быстрое движение, вообще говоря, приводит фазовую точку на какой-либо другой аттрактор (а иногда выкидывает «на бесконечность», что физически означает взрывной характер процесса). Этот аттрактор может оказаться, например, предельным циклом или тором, и тогда для изучения дальнейшего движения можно использовать технику метода усреднения (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митрополь-ский [26: 17]).

Новый аттрактор может оказаться и просто лежащим в стороне устойчивым положением равновесия быстрого движения. Именно так обстоит дело для системы Ван дер Поля и, вообще, для систем с одной быстрой переменной (так как типичные движения системы общего положения с одномерным фазовым пространством приближаются к невырожденным устойчивым положениям равновесия).

В случае многих быстрых переменных движение релаксиру-ет к равновесию, когда быстрая система является градиентной:

Такенс [204] назвал эту систему «системой со связями».

Второй случай - потеря устойчивости особой точкой быстрого движения с переходом пары собственных значений через мнимую ось, исследован в § 4.

§ 2. Особенности быстрого и медленного движений

Здесь приведены нормальные формы различных объектов вблизи нерегулярных точек медленной поверхности, где может происходить срыв. Мы рассматриваем системы общего положения и показываем, какие результаты дает общая теория особенностей в применении к релаксационной ситуации.

2.1. Особенности быстрого движения в точках срыва систем с одной быстрой переменной. Особенности проектирования медленной поверхности на базу описываются общей теорией особенностей дифференцируемых отображений [25]. Если быстрая

переменная одна, то имеется конечный список таких особенностей, встречающихся в системах общего положения. В подходящих (гладких, аналитических) локальных координатах медленная поверхность записывается в виде нормальной формы Уитни Pt,{x, у)=0.

Здесь {уи .. ., у) - медленные переменные (быть может, часть медленных переменных); значение р, не должно превосходить размерности базы, но может быть меньшим.

Приведение медленной поверхности к нормальной форме Уитни осуществляется локальным расслоенным диффеоморфизмом, т. е. диффеоморфизмом пространства расслоения, переводящим слои в слои: x=h(X, Y), y = k(Y).

Пример. В системах общего положения с одной быстрой и одной медленной переменной реализуется только складка (х4-г/=0), как в точках с вертикальной касательной на медленной кривой системы Ван дер Поля.

В системах общего положения с одной быстрой и двумя медленными переменными реализуются складка {x+yi = 0) и и сборка (х+ху1+у2=0). Нерегулярные точки образуют в этом случае гладкую кривую - линию складки - на медленной поверхности. В отдельных точках сборки эта кривая вертикальна (касается слоя расслоения; см. рис. 65). Множество критических значений проектирования (на плоскости медленных переменных у) имеет в проекциях сборок острия (точки возврата). В окрестности острия линия критических значений проектирования диффеоморфна полукубической параболе.

Уравнение быстрых движений аналитической системы общего положения в окрестности медленной поверхности можно аналитическим расслоенным диффеоморфизмом привести к нормальной форме х=Р/Е, где Р - функция нормальной формы Уитни, а Е=±1 + С(у):.

Например, при одной быстрой и одной медленной переменной:

х = С(у)х (регулярная точка),

х = {х-гУ)(\-уС {у)х)- (точка срыва).

Функциональный параметр (модуль) С в этом случае неустраним, ибо сумма вычетов дифференциальной формы dt в близких к нулю точках -инвариант диффеоморфизмов оси х.

При одной быстрой и двух медленных переменных в окрестности общей точки складки нормальная форма быстрого уравнения

. = л:Ч-f/l-Ь(C-/2) где С уже не функция, а число. 172

Рис. 65. Сборка медленной поверхности

2.2. Особенности проектирования медленной поверхности.

При большем единицы числе k быстрых переменных нормальная форма медленной поверхности системы общего положения остается такой же, как выше (добавляются лишь уравнения Х2= ... =Xii = 0), если размерность ядра проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных в рассматриваемой точке равна 1, т. е. если нулевое собственное число линеаризации уравнения быстрого движения в рассматриваемом положении равновесия при фиксированных значениях медленных переменных однократно.

Последнее условие (одномерность ядра) выполняется автоматически для систем общего положения при любом числе быстрых переменных, когда число медленных переменных не больше трех. Таким образом, в типичных системах с одним, двумя и тремя медленными переменными уравнение медленной поверхности локальным расслоенным диффеоморфизмом приводится к одному из видов

JCj = ... = jCft = О (регулярная точка),

-1/1 = л:2=...=л;й = 0 (складка), х1гУ1Х1-\-У2 = Х2 = х = 0 (сборка), 4-1/114 -№-1 + Уз = .2 = • • • = -ft = 0.

В последнем случае множество критических значений проектирования - поверхность в R, называемая ласточкиным хвостом