Определение. Возмущенным уравнением или уравнением с быстрыми и медленными движениями называется однопараметрическая деформация уравнения быстрых движений.

Такая деформация задается однопараметрическим семейством полей, содержащим исходное вертикальное поле при нулевом значении параметра". В координатах возмущенное уравнение имеет вид

x = F{x, у, в), y = eG{x, у, е), (2)

F{x, у, 0) = f{x, у).

1.3. Медленная поверхность и медленное уравнение.

Определение. Множество особых точек уравнения быстрого движения называется медленной поверхностью.

Для системы Ван дер Поля - это кубическая парабола Г. Для вертикального поля общего положения медленная поверхность- гладкое многообразие. Размерность этого многообразия равна размерности базы расслоения (числу медленных переменных). В точках общего положения медленная поверхность локально является сечением расслоения, т. е. диффеоморфно проектируется на базу.

Однако в целом проектирование, вообще говоря, не диффео-морфное. Например, кубическая парабола системы Ван дер Поля имеет две точки с вертикальной касательной.

Рассмотрим точки, в окрестности которых медленная поверхность проектируется диффеоморфно. Таковы точки, в которых отличны от нуля все собственные числа линеаризации уравнения быстрых движений на фиксированном слое (т. е. при фиксированных значениях медленных переменных) - по теореме о неявной функции. Такие точки назовем регулярными.

В регулярных точках на медленной поверхности возникает векторное поле - поле медленной скорости. Оно определяется проекцией возмущения исходного вертикального поля на касательную плоскость медленной поверхности вдоль слоев расслоения.

Определение. Вектором медленной скорости в регулярной точке медленной поверхности называется производная по е при 8=0 проекции вектора возмущенного поля на касательную плоскость медленной поверхности вдоль слоя расслоения.

> В действительности релаксационные колебания происходят во всех системах, близких к исходной, и следовало бы изучать просто окрестность иевозмущенного поля в подходящем функциональном пространстве. Однако здесь, как н в других задачах теории возмущений, ради математического удобства формулировки результата исследования как асимптотического обычно вводится (более или менее искусственно) малый параметр е и вместо окрестности рассматриваются однопараметрические деформации. Положение здесь такое же, как с понятием вариации: производная по направлению вектора (дифференциал Гато) предшествует производной отображения (дифференциалу Фреше) в историческом развитии.

Таким образом, медленная поверхность снабжается векторным полем медленной скорости (определенным в регулярных точках). Это поле задает на медленной поверхности медленное уравнение. В координатах, введенных выше, медленное уравнение имеет вид

f{x, y)=Q, g=g(.x, у), (3>

g{x, y)G(x, у, 0).

Пример. Уравнение медленного движения системы Ван. дер Поля:

у = х-х, f=-A-;

здесь T = et - медленное время.

Уравнение медленного движения есть уравнение эволюции медленных переменных при условии, что быстрые поддерживаются в равновесных состояниях. Основной замысел теории релаксационных колебаний - построение асимптотик истинного возмущенного движения из сменяющихся отрезков быстрого и медленного движений.

При подходе к нерегулярным точкам общего положения (складкам проектирования) скорость медленного движения (по отношению к медленному времени) стремится к бесконечности обратно пропорционально расстоянию до складки вдоль медленной поверхности.

1.4. Медленное движение как аппроксимация возмущенного. Рассмотрим уравнение медленного движения по медленной поверхности

f{X,y) = 0, g = g(A-, у).

Предположим, что 1) решение этого уравнения определено на отрезке ОтГ и 2) все точки фазовой кривой этого медленного движения на медленной поверхности являются гиперболическими притягивающими точками для быстрого движения (собственные значения особых точек быстрого уравнения лежат в левой полуплоскости).

Пример. Для системы Ван дер Поля эти условия выполнены, если соответствующий 0<т7 отрезок фазовой кривой медленного движения .не пересекается с другой медленной кривой Г, соединяющей нерегулярные точки, где касательная к Г вертикальна •- иными словами, изучаемое медленное движение происходит либо целиком по самой верхней, либо целиком по самой нижней из трех ветвей медленной кривой.

Теорема ([53], [68], [102]). При условиях 1 и 2 существует такая (не зависящая от е) окрестность рассматриваемой фазовой кривой медленного движения, что для достаточно ма-

лых е>0 решение возмущенного уравнения с любым начальным условием из этой окрестности, лежащим в слое над начальной точкой рассматриваемой фазовой кривой медленного движения, определено при 0<т<Г и отличается от рассматриваемого медленного движения не больше, чем на Cie на всем этом отрезке времени, исключая короткий (в медленном времени) начальный отрезок ОтСгвЬе, на котором решение близко к быстрому движению вдоль начального слоя (здесь константы Ci>0 и С2>0 не зависят от е>0 и от начальной точки, а при естественных условиях равномерности притяжения не зависят и от исходной фазовой кривой медленного движения). Исключительный начальный отрезок возникает потому, что быстрой системе требуется время порядка In (1/е) для релаксации к невырожденному равновесию ▲ .

1.5. Явление срыва. Кроме устойчивых положений равновесия быстрого движения, медленная поверхность содержит, вообще говоря, и неустойчивые. Поэтому фазовая кривая медленного движения может за конечное медленное время попасть на границу устойчивости быстрого движения, и тогда предыдущая теорема делается неприменимой.

Пример. Для системы Ван дер Поля движение по верхней ветви медленной кривой направлено влево и приводит в нерегулярную точку, за которую медленное движение не продолжается.

В этом примере возмущенное движение, начиная с указанного момента, теряет связь с медленным: происходит «срыв» с медленной кривой (релаксация к другому положению равновесия, т. е. перескок на нижнюю ветвь).

Аналогичное явление срыва происходит и в других системах общего положения. В соответствии с общей теорией, потеря устойчивости положения равновесия системы уравнений общего положения, зависящих от параметров (в данном случае - уравнений быстрого движения), происходят на двух гиперповерхностях пространства параметров (в данном случае - пространства медленных переменных).

Одна из этих гиперповерхностей соответствует столкновению устойчивого положения равновесия с неустойчивым, после которого оба положения равновесия исчезают (становятся комплексными). На медленной поверхности это явление наблюдается внерегулярных точках (критических точках проектирования медленной поверхности на базу); в этих точках линеаризация быстрого уравнения в слое имеет нулевое собственное число. Например, для системы Ван дер Поля срыв происходит в точках вертикальности касательной к медленной кривой.

Вторая гиперповерхность потери устойчивости соответствует переходу двух комплексно сопряженных собственных чисел линеаризации быстрого уравнения в положении равновесия из