Замечание. Бифуркации странных аттракторов также можно разбить на внутренние и кризисы (см., например, [120], [155]). Однако эти бифуркации происходят в классе систем с бесконечным множеством циклов, и их описание выходит за рамки этого обзора.

Глава 4 РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В теории бифуркаций обычно рассматриваются системы, зависящие от параметров, значения которых со временем не меняются. Однако в приложениях часто встречаются случаи, когда сами параметры медленно эволюционируют с течением времени. В этой ситуации возникают новые явления - например, устойчивое равновесие по мере изменения параметра может исчезать или делаться неустойчивым, и тогда состояние системы должно быстро (по сравнению со скоростью изменения параметров) перейти к новому режиму движения (аттрактору).

Для систем с медленно меняющимися параметрами характерно присутствие двух масштабов времени и двух скоростей: быстрые движения определяются в основном «замороженной» системой, в которой параметрам («медленным переменным») приданы фиксированные значения; эволюция же параметров с течением времени описывается как «медленное движение» (характер которого может, однако, зависеть от состояния быстрого движения).

Среди таких систем с быстрыми и медленными движениями выделяются системы, в которых быстрое движение приводит к устойчивому состоянию равновесия. Примером могут служить системы с одной быстрой переменной, т. е. с одномерным фазот вым пространством быстрого движения. Такая система общего положения при фиксированном значении медленных переменных быстро приходит к установившемуся состоянию покоя. Этот процесс быстрого установления равновесия называется релаксацией. В процессе изменения медленных переменных устойчивое равновесие может (через большое в масштабе быстрых движений время) исчезнуть или потерять устойчивость. Тогда снова произойдет релаксация (скачок к другому состоянию равновесия) и т. д. Возникающий процесс, состоящий из периодов, в течение которых быстрая система находится в квазиравновесном состоянии (отрелаксировала) и почти мгновенных (по сравнению с этими периодами) скачков из одного состояния равновесия быстрой системы в другое называется процессом релаксационных колебаний (термин, принадлежащий Ван дер Полю [206]).

Релаксационные колебания могут быть периодическими, однако возможно и более сложное поведение (например, сто-

хастизация релаксационных колебаний, когда промежутки между последовательными перескоками выглядят как случайная последовательность).

При изучении релаксационных колебаний обычно наибольший интерес представляет асимптотика медленного движения при стремлении к нулю малого параметра е, определяющего отношение скоростей быстрого и медленного движения. При этом важно исследовать поведение системы за время, при котором сильно меняются медленные переменные (для периодических релаксационных колебаний - за много периодов). Если масштаб времени выбран так, что характерное время быстрого движения порядка 1 («быстрое время»), то медленное движение следует изучить на временах, больших по меньшей мере по сравнению с временем 1/е заметного изменения медленных переменных.

Если перейти к «медленному времени» т=8 то в пределе, при Е-»-0, релаксация будет происходить мгновенно и движение системы будет описываться как кусочно-разрывное. Обычно в приложениях наиболее важно именно это предельное кусочно-разрывное движение. В промежутках между скачками оно описывается дифференциальными уравнениями с фазовым пространством меньшей размерности (равной числу медленных переменных), однако перескоки в моменты разрыва определяются быстрым движением.

Описание колебаний как релаксационных широко применяются в естествознании и технике (модели тормозного устройства в механике, мультивибратора в радиофизике, реакции Бело-усова-Жаботинского в химии, функционирования нервных клеток в биологии и т. д.).

Первые два параграфа этой главы написаны В. И. Арнольдом, § 3 (кроме п. 3.7) - Ю. С. Ильяшенко, п. 3.7. - Н. X. Розовым, § 4 - А. И. Нейштадтом, § 5 - А. К. Звонкиным.

§ 1. Основные понятия

Начнем с примера.

1.1. Пример. Уравнение Ван дер Поля. Простейшим примером системы,совершающей релаксационные колебания, является система Ван дер Поля

х = у - х-х, у=-ex.

При Е=0 медленное переменное у становится параметром.

Быстрое переменное х релаксирует тогда к устойчивому положению равновесия (рис. 63)

Если 8>0 (но мало), то отрелаксировавшая система медленно движется вдоль кривой состояний равновесия быстрых

Рис. 63. Система Ван дер Поля при 6=0

Рис. 64. Система Ван дер Поля при малом е>0

движений (Г на рис. 64) влево на верхней и вправо на нижней части кривой Г. В точках кривой с вертикальной касательной система совершает скачки. В результате формируется предельный цикл (рис. 64)

1.2. Быстрые и медленные движения. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящую от параметров. Иными словами, пусть дано гладкое расслоение Е-В и вертикальное (касающееся слоев) векторное поле на Е.

Определение. Уравнение, заданное вертикальным полем, называется невозмущенным уравнением или уравнением быстрых движений.

Для системы Ван дер Поля f - фазовая плоскость, В- ось у. Уравнение быстрых движений: х = у - х-{-х, у-0.

В общем случае (локальные) координаты на Е можно выбрать так, что невозмущенное уравнение быстрых движений примет вид

х=/{х, у), у=0

(y6R™ - координаты на базе, x6R - вдоль слоя). Переменные X называются быстрыми, у - медленными.