Главная Промышленная автоматика. (л", е){С [х--а sin е), (е + г + Л"-г« sin е) mod2я) кольца 0<л"<.о. где г>1, а>0, л-о>д ° г, моделирует отображение последования в окрестности «разрушающегося» тора. Легко проверить, что для любого k&Z на плоскости параметров (л а) кривая 5+:а=±(2л-г) (I-е") является бифуркационной кривой, отвечающей наличию циклов (неподвижных точек) с мультипликатором -f-1, а кривая В~: a={2nk-г){1- e-rj2 4(l g-rj2 - (, мультипликатором (-1). Можно показать также, что существуют две бифуркационные кривые Вьг, отвеча-. ющие касанию неустойчивого многообразия седловой неподвижной точки и ее устойчивого многообразия «с разных сторон». Бифуркационная картина приведена на рис. 60 Кризисы. 1. Потеря устойчивости предельным циклом на торе, происходящая жестким образом: при в-е* к устойчивому циклу, лежащему на торе, «подтягивается» седловой цикл удвоенного-периода, либо неустойчивый тор, лежащий на границе области притяжения Те при €<е* и при 8=8* передает свою неустойчивость этому предельному циклу. 2. Бифуркация устойчивого цикла на торе, при которой седловой цикл, лежащий в границе области притяжения тора, подтягивается к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает. Мультипликатор в этот момент становится равным (+1). 3. Бифуркация седлового цикла на торе, при которой, устойчивые при докритических значениях параметра циклы на торе не теряют свою устойчивость. При е-8* к седловому циклу подтягивается либо другой цикл, либо тор и сливается с ним при 8=8*. (Мультипликатор в этот момент может стать равным и (+1),и (-1),иеТ) 4. Касание неустойчивого многообразия цикла на торе и устойчивого многообразия коразмерности 1 положения равновесия или цикла, лежащего в границе области притяжения Те при 8<8*. Все четыре случая могут, очевидно, неустранимым образом реализовываться в однопараметрических семействах динамических систем. Приведем пример на случай 3. Пример 1. Следующее отображение можно трактовать как отображение юследования в окрестности тора (тору при этом отвечает инвариантная кривая) {х, е)(бл + л;2с cos е, (e-i-asine)(mod2n)), рде а > О, й >О, с > 0. Нетрудно проверить, что при с < отображение имеет инвариантную замкнутую кривую, на которой лежат неподвижные точки о), (i--VpFTjF 2зГк Рис. 60. Бифуркационная диаграмма двупараметрического семейства диффеоморфизмов кольца. Разным ее частям соответствуют различные механизмы потери гладкости и разрушения замкнутой инвариантной кривой, также показанные иа рисунке е=тс Рис. 61. Кризис замкнутой инвариантной кривой (нижняя кривая на левом и среднем рисунках); случай 3. Точками отмечена область притяжения аттрактора причем Ml-седло, а уИг-устойчивый узел. В границу области притяжения этой кривой входят неподвижные точки (l-b + V (1-6)=-4с . О , Р2 = причем Pl - неустойчивый узел, а Рг-седло. При с=-- точки Pl и Ml сливаются и при с> исчезают. Исчезает и замкнутая инвариантная кривая (см. рис. 61). Можно показать, что С-возмущение данного семейства отображений (в котором параметры а и b фиксированы, а с-меняется) претерпевает подобную бифуркацию, т. е. семейство структурно устойчиво в окрестнссти точки с= в пространстве параметров и в некотором кольце в фазовом пространстве. Пример 2. Аналогичный пример на случай 2 задает отображение (л:, e)-(6A" + A;2-fcsine. (e + acose)(mod2n)), а>0, fc>0, с>0. Легко показать, что при с< существует инвариантная кри- вая (являющаяся замыканием неустойчивого многообразия непод- (\-Ь-У (I -6)2 + 4с Зл\ рижнсй точки I-5--i Z , 2") на которой лежит устойчивая неподвижная точка Р = \--- 2"/ :1П[ри с к Р подтягивается седловая точка Q = ----. 2) при с- они сливаются, и при с > исчезают (см. рис. 62). 6-2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0.0016 |