Замечание. Открытое множество имеет непустое пересечение со статистическим предельным множеством, если и только если это открытое множество существенно.

Лемма. Статистически предельное множество всегда принадлежит вероятностно предельному множеству.

Предположим противное. Пусть некоторая точка статистически предельного множества не принадлежит вероятностно предельному. Возьмем окрестность U этой точки, замыкание которой не пересекается с вероятностно предельным множеством. Эта окрестность существенна; следовательно, существует множество положительной меры, положительная полутраектория любой точки которого проводит в и в среднем положительное время; (о-предельное множество каждой такой точки имеет непустое пересечение с областью U, что противоречит выбору этой области. ►

8.3. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов. В оставшейся части параграфа обсуждаются бифуркации аттракторов. При этом под аттрактором понимается максимальный аттрактор в поглощающей области. Напомним определения. Обозначим через {f} поток, порожденный векторным полем v.

0 п р ед ел е н и е. Область В называется поглощающей, если fBczB, t>0. Максимальным аттрактором в поглощающей области В называется множество A = C\fB. Множество называется

аттрактором, если существует поглощающая область, максимальным атрактором которой оно является. Областью притяжения аттрактора А называется множество U{A), состоящее из всех точек, через которые проходят траектории, стремящиеся к А при t-oo.

Простейшими аттракторами будут очевидно: устойчивое положение равновесия, устойчивый предельный цикл, притягивающий двумерный тор.

Определение. Аттрактор называется странным, если он отличен от конечного объединения гладких подмногообразий фазового пространства.

Для простоты, дальнейшее изложение будем вести на языке однопараметрических семейств динамических систем. Итак, пусть {/}-поток, зависящий от скалярного параметра. Предположим,

что; 1) при 0е<в* существует аттрактор А, для которого существует поглощающая область Be, такая что для любого е < 8*, int( И £е)=Ле; 2) 8* - бифуркационное значение параметра,

е-*е

причем Ае* имеет непустое пересечение с носителем бифуркации (см. § 2) потока {/}, где Ае* = Ъ Ае.

Е-*е*

Здесь It Се и It Се-топологический предел и, соответственно, верхний топологический предел семейства {Се}>).

Определение. Значениее = е* называется внутренним би-фуркационным значением, если Л е»-аттрактор. В противном случае оно называется кризисным бифуркационным значением. Соответствующие бифуркации называются внутренней бифуркацией и кризисом семейства аттракторов.

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации.

В результате кризиса система переходит на другой режим - изображающая точка может уходить в «новую» область фазового пространства.

8.4. Внутренние бифуркации и кризисы положений равновесия и циклов, в соответствии с приведенными в п. 8.3 определениями, разобьем бифуркации циклов на внутренние и кризисы. Будем говорить, что имеет место мягкий (жесткий) случай, .если в момент бифуркации положение равновесия или цикл устойчивы (неустойчивы).

Положения равновесия.

1. Бифуркация Андронова-Хопфа: в мягком случае - внутренняя бифуркация, в жестком - кризис.

2. Образование седло-узла и его исчезновение - кризис. Предельные циклы.

1. Слияние устойчивого цикла с седловым и обоюдное исчезновение - кризис.

2. Бифуркация удвоения периода и бифуркация рождения тора из цикла: в мягком случае - внутренняя бифуркация, в жестком - кризис.

3. «Влипание» предельного цикла в гомоклиническую траекторию седла - кризис.

4. «Влипание» предельного цикла в гомоклиническую траекторию седло-узла - внутренняя бифуркация.

5. Катастрофа голубого неба. Можно показать, что в примере п. 7.2 верхним топологическим пределом цикла L(e) при

.Е-Е* будет вся бутылка Клейна (е* - бифуркационное значе-

) Напомним, что множество называется топологическим пределом, если оно одновременно является и верхним и нижним топологическим пределом. Множество называется верхним (нижним) топологическим пределом семейства {Се}, если это множество всех точек, для любой окрестности каждой из которых существует сколь угодно близкое к е* значение е такое, что пересечение Се с этой окрестностью непусто (начиная с некоторого ео<е*, пересечение Се с этой окрестностью непусто при Ес<е<е*).

ние, отвечающее моменту исчезновения цикла), и, вообще, для любого однопараметрического семейства систем без положений равновесия на К, в котором осуществляется указанная бифуркация, она будет внутренней. Так ли это в общем случае или хотя бы для систем на двумерной поверхности, отличной от бутылки Клейна, неизвестно.

Замечание. Для градиентных систем кризисы можно трактовать как катастрофы.

8.5. Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток {fe}, скажем, при 0:8<8*, является системой Морса-Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0:8<8* на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина - неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Те образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что 8*-бифуркационное значение параметра, и при 8=8* осуществляется бифуркация коразмерности 1-одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<8* на Те, либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов.

Внутренние бифуркации двумерного тора (см. [34], [123] и п. 1.6, гл. 2).

1. Смена устойчивости устойчивого предельного цикла на торе - удвоение периода, либо рождение тора. В этом случае существует значение ei<e*, при котором мультипликаторы цикла становятся комплексными. При 8>8i Те не является гладким, неустойчивое многообразие седлового цикла накручивается на устойчивый цикл, а не гладко примыкает к нему.

2. Слияние устойчивого и седлового циклов, лежащих на торе, и образование цикла с мультипликатором 1, который может быть как s-критическим, так и некритическим. В первом случае, если все траектории на неустойчивом множестве - гомоклинические, то при .е>8* может возникнуть странный аттрактор (см. § 4). Если при 0<8<8* на Те лежит больше двух циклов, то при 8>8*, по-прежнему, существует тор, на котором на два цикла меньше.

3. Касание неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием того же самого или другого седлового цикла. В первом случае возникает гомоклиническая траектория, и при е>е*-нетривиальное гиперболическое множество, во втором - гетероклиническая траектория, и при е>8* аттрактор уже не является тором.

Пример. Отображение