3.2. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3=).. Множество особых точек полей любого из семейства (3=) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3*) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) - это множество коэффициентов многочленов степени име-

ющих кратные корни. При р,= 1 это множество - одна точка, при ц = 2 - полукубическая парабола, при ц = 3 - ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как «уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности» (§ 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы; они исследуются в § 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3=).

При ц=2 бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов в семействе (3~) показаны на рис. 5, 6.

3.2. Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалентности) и фазовые портреты главных семейств (4*). Исследование бифуркационных диаграмм и перестроек фазовых портретов в главных семействах (4*) сводится к аналогичной задаче для семейств факторсистем относительно переменной!

Рис. 5. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3-) при v = 2 н v = 3: а. Полукубическая парабола. 6. Ласточкин хвост.

p=zz. Эти семейства имеют вид

Р = 2р (± p+61 + ... 4-e,p-l), (7±)-

р>0.

Особой точке ро>0 такого уравнения соответствует предельный цикл уравнения (4=)-окружность 2;2=ро. Характер-устойчивости соответствующих друг другу точки и цикла одинаков; для цикла речь идет, конечно, об орбитальной устойчи-

Рис. 6. Фазовые портреты уравнений семейства (3-) при v=2

Рис. 7. Бифуркационная диаграмма главного семейства (4-) при v=2. Каждой неточечной компоненте бифуркационной диаграммы на рисунке сопоставлено число - количество циклов в уравнении главного семейства, соответствующем набору параметров из этой компоненты

Рис. 8. Фазовые портреты факторснс-тем для подсемейства вида (4-), соответствующего окружности с центром О на плоскости параметров

вости. Точки бифуркационной диаграммы семейства соответствуют кратным циклам или, что то же самое, кратным особым точкам соответствующей факторсистемы (фазовое

пространство которой - положительная полуось). Тем самым, бифуркационная диаграмма семейства (4*) - это множество многочленов, имеющих неотрицательные кратные корни или нулевой корень. Например, при ц = 2 это - половина полуку-•бической параболы и прямая ei = 0 (рис. 7).

§ 4. Бифуркации особых точек векторных полей с двукратным вырождением линейной части

Не все бифуркации, описанные в этом параграфе, исследованы до конца.

4.1. Список вырождений. В. типичных двупараметрических семействах общего положения встречаются ростки векторных полей в особой точке, имеющие двукратное выррждения линейной части только одного .из следующих трех типов:

1. Два собственных значения равны нулгр; центральное многообразие двумерно; соответс-вующий блок линейной части - нильпотентная жорданова клетка.

2. Одно нулевое и пара чисто мнимых собственных значений; центральное многообразие трехмерно.

3. Две пары чисто мнимых собственных значений; центральное многообразие четырехмерно.

Полное описание бифуркаций получено только для первого из этих классов. Для ростков двух других классов аналогичное описание, по-видимому, невозможно. Теория нормальных форм дает в качестве упрощенной модели для исследования деформаций ростков этих классов вспомогательные локальные семейства эквивариантных векторных полей на плоскости. Переход от вспомогательных семейств к исходным также небезобиден. Исследование вспомогательных семейств - трудная задача из-за бифуркаций предельных циклов.

4.2. Два нулевых собственных значения.

Теорема ([43]). В типичных двупараметрических семействах векторных полей встречаются лишь такие ростки с двумя нулевыми собственными значениями в особой точке, ограничение которых на центральное многообразие в подходящих координатах имеет вид, указанный в таблице 1 (строка 5). Деформации таких ростков в типичных двупараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице главным деформациям и версальны.

Опишем бифуркации в главном семействе (5+). Бифуркационная диаграмма разбивает плоскость е= (ei, ег) на четыре части, обозначенных А, В, С, D=Di\jD2\jDs на рис. 10. Фазовые портреты, соответствующие каждой из четырех частей плоскости е, показаны на рис. 10. Ветви бифуркационной диаграммы со-