мейство типично, то в его типичном однопараметрическом подсемействе (выделенном жирной линией на рис. 22) происходят следующие явления. Для всех значений параметра, меньших некоторого е-, цикл сохраняет устойчивость, для всех значений, больших некоторого е+, уравнение семейства имеет два инвариантных тора. Перестройки, соответствующие интервалу (е-, е+), по-видимому, весьма сложны (см. конец п. 2.3, гл. 2), первая бифуркация и здесь не описана.

§ 8. Аттракторы и их бифуркации

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества - аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен - отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, - то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых - компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю.

Эти гипотезы не доказаны. Более того, общепринятого определения аттрактора не существует. Проблема предельного поведения траекторий исследуется с двух сторон. С одной стороны, определения аттрактора даются так, чтобы каждая диссипативная система (для простоты ниже речь идет именно о таких системах) имела аттрактор. При этом аттрактор не должен содержать «лишних точек» и должен совпадать с тем «пространством установившихся режимов», которое наблюдается в численном или натурном эксперименте. Например, максимальный аттрактор диссипативной системы - пересечение всех сдвигов поглощающей области преобразованиями фазового потока за положительное время - может быть гораздо шире «пространства установившихся режимов». На рис. 58а показана динамическая система с поглощающим кольцом, максимальный аттрактор которой - окружность, содержащая два положения равновесия - седло и узел. Фазовые кривые стремятся к седлу из множества начальных условий меры нуль; почти все (в смысле меры Лебега) фазовые кривые стремятся к узлу, который и следует считать «физическим аттрактором».

С другой стороны, определения аттрактора даются так, чтобы обеспечить хаотичность поведения траекторий на нем (и, может быть, возле него). Так возникают гиперболический, стохастический и другие аттракторы [100], [101], [198]. Неизвестно, однако, типичны ли системы с хаотическим поведением траекторий на аттракторе в классе систем, атракторы которых не состоят из конечного числа точек и циклов.

в этом параграфе обсуждаются разные определения аттракторов, а затем описываются бифуркации аттракторов.

8.1. Вероятностно предельные множества по Милнору [174].

Пусть диссипативная система задана на компактном гладком

Рис. 58. Поглощающее кольцо; максимальный аттрактор в нем - окружность, вероятностно предельное множество - узле в случае «с» и седло-узел в случае «б»

многообразии с краем. Рассмотрим произвольную гладкую меру на многообразии, то есть меру, имеющую гладкую плотность относительно меры Лебега в каждой координатной окрестности. Класс измеримых множеств и множеств меры нуль не зависит от выбора плотности; этот выбор для дальнейшего не важен.

Определение. Вероятностно предельное множество динамической системы - это наименьшее замкнутое множество, содержащее со-предельные множества для почти всех точек фазового пространства.

Это определение имеет смысл не только для потоков и диффеоморфизмов, но и для произвольных гладких отображений.

Вероятностно предельное множество не является устойчивым, как показывает рис. 586. Здесь вероятностно предельным множеством является положение равновесия типа седло-узел.

8.2. Статистически предельные множества. В вычислительных экспериментах предельные множества часто фотографируются. Для этого вычисляется одна или несколько траекторий, и значения каких-нибудь двух функций (например, двух координат) в точках этих траекторий, выводятся на экран осциллографа. На экране вспыхивают и гаснут точки (точнее, маленькие .пятна). Объектив аппарата открывается через большое время после начала счета и в течение долгого времени остается открытым. Те точки, которые в течение этого времени вспыхивали много раз, получатся на фотографии; редко вспыхивавшие точки - не получатся.

Рассмотрим, например, динамическую систему на сфере с поглощающей областью, имеющей максимальный аттрактор в виде пары петель гиперболического седла (восьмерка, см. рис. 59с). На фотографии, сделанной по описанному методу, получится положение равновесия и четыре интервала сепаратрис (рис: 59 6). Чем больше время съемки, тем меньше эти интервалы, поскольку относительное время, проводимое траекториями вблизи седла, растет. Вероятностно предельное множество-в этом примере - вся восьмерка.

Рнс. 59. Векторное поле с максимальным аттрактором и вероятностно предельным множеством типа восьмерки; статистически предельное множество - седло

Скажем, что положительная полутраектория точки х под действием фазового потока {g*} проводит в среднем положительное время в области U, если относительная мера тех значений t из отрезка [О, Т], для которых gxU, имеет неотрицательный верхний предел при Т-оо:

Здесь з(р - характеристическая функция множества U.

Определение (Ю. С. Ильяшенко, 1985). Пусть динамическая система на компактном гладком многообразии с краем диссипативна и /га - гладкая мера на этом многообразии с положительной плотностью. Открытое множество и назьшается существенным, если положительна мера множества тех точек, положительные полутраектории которых проводят в среднем положительное время в области U. Статистическим предельным множеством называется дополнение к максимальному несущественному открытому подмножеству фазового пространства.

Статистически предельное множество в предыдущем примере - седло.