Главная Промышленная автоматика.

По-видимому, гладкий притягивающий тор, имеющийся в семействе при Е>Е+(р), при уменьшении ц теряет гладкость и,, прежде чем исчезнуть, превращается в странный аттрактор.


Рис. 57. Левая выделенная часть семейства 1)ц состоит из полей Морса- Смейла, правая - из полей, имеющих инвариантный тор. Звездожа означает неисследованный интервал, на котором происходит бифуркация

7.5. Сохранение и гладкость инвариантных многообразий; (по Феничелю) [144]. Формулируемая ниже теорема утверждает, что притягивающее инвариантное многообразие сохраняется" при малом возмущении, если скорость приближения траекторий, к многообразию извне больше, чем скорость сближения траекторий на самом многообразии. Числа, характеризующие эти скорости, называются «показателями типа ляпуновских» и определяются следующим образом.

Определение 1. Многообразие с краем называется отрицательно инвариантным для векторного поля, если поле во внутренних точках многообразия касается его, а на краю тоже касается и направлено наружу.

Определение 2. Отрицательно инвариантное для поля и многообразие с краем называется притягивающим, если существует окрестность многообразия М, неотрицательная функция р в этой окрестности и положительное t такие, что

Пусть ТМ - касательное и N - нормальное к М расслоение,, Т - ограничение на М касательного расслоения к фазовому пространству; р : TN - оператор проектирования вдоль ТМ.

Определение 3. Показателем притяжения отрицательно инвариантного многообразия М для поля v называется число

-ln\\pg4g-x)l\\

K/v= sup

ХСМ

Определение 4. Показателем, сближения траекторий на М называется число



In и g-

Kt= sup lim

Обозначения подчеркивают, что первый показатель характеризует сжатие в направлении, нормальном к Л1, а второй - в касательном.

Пример. Рассмотрим гиперболическую особую точку векторного поля в R" с устойчивым многообразием и неустойчивым IF". Пересечение М неустойчивого многообразия с некоторой окрестностью особой точки поля является отрицательно инвариантным многообразием. Пусть - собственные значения особой точки с отрицательной, а - с положительной вещественной частью. Тогда показатели притяжения к 7И и сближения на М имеют вид

Хлг= - maxReXy, Хт-= - mm Re [iy.

Теорема. Пусть v - гладкое векторное поле, М - его отрицательно инвариантное многообразие с краем, и - соответствующие показатели, и натуральное г удовлетворяет условию

Тогда любое C-близкое к v поле имеет C-гладкое отрицательно инвариантное многообразие, близкое к М.

Замечание. Механизм потери гладкости - такой же, как в п. 5.2, гл. 2.

7.6. Вырожденное семейство и его окрестность в функциональном пространстве. Здесь доказана теорема пункта 7.4.

Построим сначала вспомогательное семейство векторных полей в прямом произведении IXD отрезка 2 на (п-1)-мерный шар xl, x6R"~. Рассмотрим гладкое векторное поле и в Z), равное нулю в некоторой окрестности границы D, имеющее гладкий инвариантный (п-2)-мерный тор с положительным показателем притяжения; поле v на торе диффеоморфно постоянному полю, задающему условно периодическую обмотку. Отсюда следует, что показатель сближения траекторий поля на торе равен нулю и все траектории на торе - неблуждающие.

Через V обозначим поле на произведении / XD, касательное к «вертикальным» слоям: 1/ = (у, 0). Пусть ф и - две гладкие функции на /; Ф (соответственно Ф) равняется 1 в некоторой окрестности точки -1 (соответственно +1); носители функций Ф и ф - непересекающиеся отрезки, лежащие строго внутри /; ф(-л:) = Ф (л:). Пусть ijje - глад1ое семейство функций

на / с базой е<-; >j3e() = (± 1) -е при + 1<-; функ-J54



ции четны и положительны всюду вне отрезков ± 1J <

и равны 1 в некоторой окрестности концов отрезка /.

Рассмотрим семейство полей Ve в IXD: Ve = 4>е + ф+V -

- Ф.У. Поля семейства обладают следующими свойствами: а) Задают обратимую систему (поле Ve меняет знак при симметрии (t, x)>-*{-t, х)). б) В окрестности границы области DX поле Ve

совпадает с в) При е < О определено преобразование монодромни поля Ve. { - 2}XD-{2}XD, сохраняющее х в силу симметрии поля Ve. При е=0 поле имеет полуустойчивый тор (и даже два таких тора) с условно периодической обмоткой. При е>0 поле Ve имеет два отталкивающих тора и два притягивающих

показателем притяжения }г.

Построим теперь описанное в теореме вырожденное семейство d на многообразии М. Для этого возьмем произвольное

векторное поле w на М, задающее систему Морса-Смейла, и рассмотрим ее трубку траекторий В, диффеоморфную произведению диска на отрезок, все фазовые кривые которой пробегаются за время 4. Изменим поле w в этой трубке следующим образом. Пусть Я - диффеоморфизм BIXD, выпрямляющий

поле W (переводящий его в ), пусть G = H~. Положим

W вне В,

Ve =

GVe внутри В.

Очевидно, поле Ve гладко и гладко зависит от е. При е<0 поле We задает систему Морса-Смейла, поскольку поле w этим свойством обладает, и преобразования монодромни дна трубки В на ее крышку у полей и w совпадают. При еО поле We имеет бесконечное множество неблуждающих траекторий, заполняющих четыре тора. Семейство d построено.

Исследуем теперь окрестность семейства d в функциональном пространстве. -В силу структурной устойчивости систем Морса-Смейла каждое из полей при е<0 имеет окрестность, состоящую из систем Морса-Смейла. При е>0 каждое из полей We имеет окрестность, состоящую из полей с инвариантным (п-2)-мерным тором. Это следует из теоремы Феничеля, поскольку показатель притяжения к инвариантному тору We при 8>0 положителен, а показатель сближения траекторий на торе равен нулю. Теорема доказана.

7.7. Рождение торов в трехмерном фазовом пространстве. Рассмотрим двупараметрическое семейство векторных полей на трехмерном многообразии, в котором происходит потеря устойчивости предельным циклом при прохождении пары мультипликаторов через мнимую ось в случае дополнительного вырождения в нелинейных членах, описанного в п. 2.3, гл. 2. Если се-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0049