Главная Промышленная автоматика.

лежащая неведущему подмногообразию устойчивого многообразия Wl

Замечание. В [66], [67] на Via наложено еще одно условие, не нарушающее общности положения. Для примера пункта 6.6 это условие: сфО.

Теорема ([66], [67]). Для любого однопараметрического семейства {Ve} векторных полей в %(М), г>4, такого, что {wg} трансверсально к .61 в точке Vq, на отрезке [-1, 1]Эб существует счетное множество интервалов {биб},

ё1пб = {е}; дЬ\идё1={е1; el; el),

таких что при EgfiUft векторное поле -v будет иметь устойчивый предельный цикл -однообходный при евб\ и двухобход-

ный при ебб При 8б и Eft поле имеет негиперболический предельный цикл: при 8 = е-однообходный с мультипликатором 1; при в = е (е = 8) - однообходный (двухобходный) с мультипликатором (-1).

6.9. Векторные поля на бифуркационной поверхности. В п. 6.7 системам на Bi отвечает значение е=0. В условиях же 4) класс допустимых пар натуральных чисел р,, Pi+i может меняться при незначительном изменении К и у, даже при е=0. Можно предположить, что даже на бифуркационной поверхности Bi происходят бифуркации. Это действительно так, но лишь для векторных полей, не являющихся граничными для множества векторных полей Морса-Смейла. Справедлива

Теорема ([66], [67]). В окрестности векторного поля, удовлетворяющего условиям теоремы пункта 6.8, но не являющегося граничным для векторных полей Морса-Смейла, на бифуркационной поверхности всюду плотны векторные поля, обладающие: 1) предельным циклом типа седло-узел; 2) предельным циклом типа неориентируемый узел (с мультипликатором, равным (-1)); 3) бесконечным множеством устойчивых предельных циклов.

В случае, если бифуркационная поверхность является граничной для векторных полей Морса-Смейла в точке vq, то векторные поля {vo} различаются модулем (см. п. 6.3), но геометрически «одинаковы». В неблуждающее множество добавляется лишь гомоклиническая траектория простого касания.

) Неведущее подмногообразие пересекается с траисверсалью, касаясь инвариантного линейного подпространства, отвечающего мультипликаторам Xz.....Ят, если Xi вещественно, и Лз, .... Я™ - в противном случае.

" Пусть L - гиперболический цикл и Г - его гомоклиническая траектория. Циклы последовательности {Ln} называются -обходными, если для любой окрестности U цикла L и любой окрестности V траектории Г существуют такое N и такая окрестность W цикла L, что для всех «>Л?, Ln<\JV, и разность Ln\W состоит из k связных компонент.



6.10. Диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий. В окрестности диффеоморфизма двумерной поверхности, имеющего гомоклиническую траекторию простого касания, существуют диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий. Точнее, имеет место

Теорема ([176], [189]). Пусть р - диссипативная гиперболическая седловая неподвижная точка С-диффеоморфизма f:M- ->-Л12, г>2. Предположим, что W" и имеют траекторию простого касания. Тогда произвольно С-близко к / имеется диффеоморфизм g, для которого существует окрестность Uc:Diff(AI2) и множество второй категории аУХ такое, что любой диффеоморфизм имеет бесконечно много устойчи-

вых периодических траекторий.

Модификация этой теоремы для однопараметрических семейств диффеоморфизмов приведена в [177].

Теорема. Предположим, что {/е} -кривая С-диффеомор-физмов компактной поверхности М такая, что: 1) при 8 = ео /е, имеет диссипативную неподвижную седловую точку р и гомоклиническую траекторию простого касания и W; 2) {/J трансверсально пересекает в точке /о- Тогда существуют значения 8>ео, для которых /е имеет бесконечно много устойчивых периодических траекторий.

Пример. Модель контакта Джозефсона

ф=, у = р-sin9 -•(] +ecos<P)y-f ccsinQ/,

где р-безразмерный ток, а у-безразмерное напряжение, при некоторых (физических) значениях параметров, как доказано в [125], имеет гомоклиническую траекторию простого касания дис-Сипативной седловой неподвижной точки отображения последования плоскости = 0 в =- Приблизительно при этих же значениях параметра было экспериментально обнаружено явление иевоспроизводимости вольт-амперной характеристики: при одних й тех же условиях опыта вольт-амперная характеристика получалась различной: за вольт-амперную характеристику в данном

случае можно принять зависимость {у) от р, где {у) == t

= lim i .\ у(т)йт. Если учесть, что Ф = у, то < у > =

=l)m , т. е. «числу вращения фазы».

Естественно предположить, что невоспроизводимость вольт-амперной характеристики объясняется наличием бесконечного предельного множества (и, в частности, счетного множества устойчивых предельных циклов с различными областями существования по параметру р), содержащего траектории с разными «числами вращения фазы».



§ 7. Бесконечные неблуждающие множества

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса-Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла).

7.1. Векторные поля на двумерном торе. Класс систем Морса-Смейла на двумерном торе Т так же, как и на любой двумерной поверхности (см. § 2), совпадает с классом структурно устойчивых (и грубых) систем. Поэтому любая негрубая система Т2 лежит на границе множества систем Морса-Смейла.

Если для некоторой системы на Т есть глобальная секущая, - компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,- то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий.

Для любого однопараметрического семейства С"-гладких, г1, векторных полей на Т, непрерывно зависящих от параметра и обладающих при каждом его значении глобальной секущей, число вращения непрерывно зависит от параметра. Если оно изменяется, то неминуемо принимает иррациональные значения. Следовательно, системы с бесконечным неблуждающим множеством встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, обладающих разными числами вращения хотя бы для двух значений параметра.

Предположим теперь, что для некоторого векторного поля на Т число вращения рационально. Если векторное поле - общего положения, на то Т имеется четное число предельных циклов, половина устойчивых, половина неустойчивых. Число вращения может измениться только после того, как эти циклы перестанут существовать. Их исчезновение связано с прохождением мультипликаторов через +1. Таким образом, векторное поле с бесконечным неблуждающим множеством (и с глобаль-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0037