( 6t

£<0

Рис. 52. Подкова Смейла для отображения Рв*+* (сверху). Окрестность точки Р и ее прообраз при е=0 и е<0 (снизу)

1) й содержит неподвижную точку (..., 0,0,...).

2) После каждого из символов 1,2 обязательно следует

СИМВОЛ 0.

Отсюда следует, что каждой траектории из Q соответствует последовательность натуральных чисел (...р,-, Pi+i,...), где S>i - длина отрезка из нулей, содержащегося между двумя отличными от нуля символами. Траекториям, а (ш)-асимптотическим к (..., 0,0... ), ставится в соответствие последовательность {ро, Ри---) или [ро-.-, pk), где ро=°°, Ра=оо.

3) Существует AgN такое, что все Pi>k.

4) Существуют константы ~{У1, 0<Я<1, dO, Vi>0; V2>0, сфО, ефО такие, что для каждой траектории из Q выполнены неравенства

>о.

sign d

Теорема ([б1], [62J). Для любого векторного поля •o6U существуют такие • константы k, Vi, V2, y> d, где Я, "V -

мультипликаторы цикла, близкого к L, d<0, а е>0 при d6U2

и е<0 при wgUi, что справедливо следующее утверждение: €сли Q¥=0, то у инвариантного множества траекторий, целиком содержащихся в U, существует гиперболическое подмножество; его траектории находятся во взаимно однозначном соответствии с траекториями множества Q, при котором циклам соответствуют периодические траектории сдвига o\Q и сохраняются асимптотические свойства траекторий.

Следствие. При е>0 v имеет бесконечное множество циклов.

Действительно, положив Pi=pi+i=p, получим, что в силу диссипативности цикла L и условий d<0, е>0 неравенство 4) выполнено для всех достаточно больших р.

Поясним эту теорему. Вернемся к примеру п. 6.6. Так как V>0, (Я<1), то существует «i6N («26N) такое, что у"18о> >y*-bei, ri(.* + eo)<ei, {К-"ег> х*-г Щ,, У"{у*+ г,)<ео. Положим для i>N = n\ax{ni, «2}

(У1 = {{х, y)eUo\\х-х*\<ео, \ fy-y*\<61}.

Очевидно faiClUi, c!,r\Oj=0, Отображение ff-i-

->-По((л:, у)) записывается в виде*> л; -л:* = 6(уу-У*).

ycV-x* \d(y-y*f-\-г. Легко убедиться, что на каждом

прямоугольнике для соответствующего значения 8=8, это отображение действует как диффеоморфизм подковы Смейла.

На примере легко понять, почему в окрестности Уо существуют векторные поля, удовлетворяющие аксиоме А Смейла (теорема пункта 6.5).

Покажем, что существует такое значение параметра, что все области а, отображаются, как подковы Смейла. Действительно, поскольку щель, т. е. расстояние (по у) между и Oi+i - величина порядка const/y"*, а величина (по х) окрестности ,в которой содержатся все области \Ыи /t--порядка const-Я, то, в силу диссипативности седла, искомые значения параметра существуют (см; рис. 53). Отсюда вытекает, что все траектории в окрестности гомологическойтраектории гиперболичны, а только они и являются вновь появившимися неблуждающими траекториями.

Замечание. В [61], [62] теорема обобщена на случай систем, не лежащих на границе векторых полей Морса-Смейла, а в [67] также на случай п>3.

6.8. Бифуркации „подков Смейла". Начнем с примера пункта 6.6. Здесь при изменении е осуществляются бифуркации, связанные с возникновением подков Смейла. Легко проверить.

9 Это отображение похоже на известное отображение Эио [161].

У 7Ж

Рис 53. Образы и прообразы «прямоугольников», лежащих в окрестности гомоклинической траектории дис-сипативной седловой неподвижной точки, под действием итераций диффеоморфизма

что если erf > (у*у- - cVx*) -f (бсХ-уО. то неподвижных точек отображения f в нет. При е] = (у*у- - -г-- возникает неподвижная точка типа седло-узел, распадающаяся на седло и узел, с которыми при дальнейшем изменении параметра вплоть до значения е = у*у - скх* -

--- бифуркации не происходит. При e = ef узел

(превратившийся в фокус, а затем опять в узел, но уже с отрицательными мультипликаторами) претерпевает бифуркацик> удовоения периода (см. рис. 54). Результаты этого примера справедливы и в общем случае. Кроме того, они обобщены на системы с п-мерным фазовым пространством [66], [67]. Точнее говоря, пусть Vo - С"-гладкое, г4, векторное поле на т+2 - мерном, /п>1, многообразии М, причем:

1) «о имеет седловой цикл L с мультипликаторами Xi, ..., Х, Y IУI > 1 > I 1 > I 1. Уб{2, .... т}, и - не кратный корень характеристического уравнении;

2) седловая величина Я1у<1;

3) Wlr\W"iZiV\ Г-траектория простого касания, не принад-

Рис. 54. Бифуркации периодических точек в окрестности гомоклинической

траектории