Главная Промышленная автоматика.

iogiA,.i iogi;i

log 1721 log j 721

Здесь Xu Ki, 72 и 72 - те же, что в начале пункта. Поясним теорему для т=2 на рис. 50.


Рис. 50. Диффеоморфизм плоскости, топологическим инвариантом которого является отношение logy/log,

Несложно сконструировать диффеоморфизм, имеющий больше одного модуля устойчивости. Для этого достаточно, чтобы неустойчивое (устойчивое) многообразие точки p{q) было предельным для неустойчивых (устойчивых) многообразий других седловых точек (как, например, в теореме пункта 6.2). В [139] выведены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы диффеоморфизм, лежащий на границе множества систем Морса-Смейла, имел единственный модуль.

6.4. Системы с контурами. Предположим, что «о имеет контур {Qo, ..., Qft}. причем траектория простого касания или квазитрансверсального пересечения принадлежит Wq.JWqj-

Существование на границе множества систем Морса-Смейла векторных полей с контурами установлено в [58]. На рис. 51 приведен пример подобного диффеоморфизма.

Утверждение. В любой окрестности Vc в содер-

жатся векторные поля со счетным множеством циклов.

Доказательство заключается в том, что с помощью Х-леммы устанавливается наличие у близкого к Vo векторного поля гомоклинической кривой, принадлежащей трансверсальному пересечению многообразий см. [178], [182]).

Такое резкое увеличение неблуждающего множества называется й-взрывом [182].

Замечание. Если Vo - векторное поле с гомоклинической траекторией простого касания устойчивого и неустойчивого многообразий цикла, то утверждение остается справедливым (см. п. 6.6).

6.5. Диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами. Для диффеоморфизмов утверждение пункта 6.4 было усилено в [178], [180]: было показано, что в окрестности точки на бифуркационной поверхности существуют диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А Смейла, с нульмерными нетривиальными базисными множествами. Точнее, пусть




Рис. 51. Критический момент перед Q-взрывом. Неподвижные точки Ai, Яг - устойчивые, Rl, Яз - неустойчивые узлы, а Li, L2 -седла

М - компактное связное С-многообразие, Diff(Af)-пространство С-диффеоморфизмов М с равномерной С-топо-логией,/=[0, 1], и для k\, Ф=--= С(/, Diff(M))-

пространство С-отображений / в Diii{M) с равномерной С-топологией. Элемент бф*- -это С-кривая С-диффеоморфизмов. Пусть С*"с=Ф*- - множество дуг еф*, таких, что. 1оШ5, и если l>b = inf{EJIeMS}, то Vo{lb)i и удовлетворяет условиям общности положения, где AfScrDiff (Л?)-множество диффеоморфизмов Морса-Смейла (см. § 4). Для б>0 пусть t/e= [bo, bo+8).

Теорема ([178]). Существует множество второй категории с=(уй,г 1, г>2, такое, что если е.5р, то верно следующее: для любого х>0 существует 6>0 и открытое подмножество t<U6, так что: а) мера Лебега меньше, чем хб; в) если б(Ув\.5, ТО е - диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А Смейла (см. п. 3.4); с) существуют такие е в {/б\.51б, для которых неблуждающее множество е бесконечно, нульмерно, а если устойчивые многообразия всех Qi имеют одну и ту же размерность, то это верно для любого е из

Утверждение теоремы проще всего понять на примере векторных полей в R, для которых верны аналогичные результаты.

6.6. Векторные поля в R с гомоклинической TpaeKTOpHe№ цикла. Пусть векторное поле УобС, г>3, в трехмерном пространстве имеет предельный цикл L седлового типа и траекторию TdWiriWi, принадлежащую простому касанию его устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда у L\jr суще-



ствует окрестность U, гомеоморфная полноторию Uq с приклеенной ручкой Ui.L лежит внутри заполненного тора, а Г П (U\Uq) - связно, т. е. Г «обходит» ручку только один раз. У системы «о в существует окрестность U = Ui U Но U Иг. где в лежат

системы, не имеющие гомоклинических траекторий Г, для которых ТГ\(и\ио) связно, Иг состоит из систем, каждая из которых имеет две гомоклинические траектории Гь Гг такие, что Г;П(\ \Uo) связно. Г, принадлежит трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий седлового цикла, /6(1,2}, а в % содержатся системы, «подобные» Vq, т. е. имеющие гомоклиническую траекторию простого касания.

Пусть К, у-мультипликаторы цикла L : (Х <1, [-у! >1.

Определение. Цикл L называется диссипативным, если (Лу<1. Аналогично определяется диссипативная неподвижная точка типа седло диффеоморфизма М.

Если "v>0, то многообразие W" гомеоморфно цилиндру и разделяется циклом L на два множества: W", W", WfriW2=0. Пусть TdWl

Теорема ([61], [62]). Если: 1) ->0, 2) Wn{W\L)=0, 3) цикл Z--диссипативен, то существует настолько малая окрестность U, %(R)z:>V&Vo что все векторные поля в являются векторными полями Морса - Смейла в й.

Поясним этот результат на примере. Рассмотрим однопараметрическое семейство С-диффеоморфизмов fg-.R-W, которое в окрестности Uо неподвижной точки О в начале координат имеет вид (х,у){%х,уу), 0<Х<1<7, Х-{<\. Пусть Р = (0, у*), Q={x*,0), x*>0, у* У О, fpP = Q, S6N, -гомоклинические точки, по которым устойчивое и неустойчивое многообразия точки О имеют простое касание (рис. 52). Пусть UqZdUq ={(х, у)л; -л:* <8о, у<ео}, UoZ:>l\ = {ix, y)\x\<ei, у -y*(<8i}; ПоП/о(По)=0, nin/o~4ni)=0. Предположим, что /о в rii записывается в виде: х(, - x*==b{yi-у*), yo=cxi-]--f rf(yi -У*) + е; (л:о,Уо)бПо, (лъ yOeHi. Это означает, что отрезок неустойчивого многообразия Xi=0, \yi - у* I < переходит

в отрезок параболы Уо=- (хо-х*)-е. Таким образом, при

d<0, 8=0 выполнено условие 2) теоремы. Видно, что при d<0, у>0, 8<0 точки из малой зависящей от 8 окрестности точки Р попадают в область с отрицательными значениями у, т. е. Р - блуждающая точка (см. рис. 52).

6.7. Символическая динамика. Структуру неблуждающего множества векторного поля v, близкого к Vo, можно описать следующим образом [61], [62]. Пусть Q - инвариантное подмножество топологической схемы Бернулли из трех символов. {О, 1, 2}, выделяемое следующими условиями:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [44] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0039