Главная Промышленная автоматика.

следования имеет не менее чем N подков Смейла. Каждой подкове соответствует счетное множество периодических траекторий.

В заключение приведем таблицу 3, в которой подытожены утверждения данного параграфа. Здесь символами R и С обозначено вещественное и комплексное ведущие направления, а символом обозначена ситуация, когда существует нетри-

виальное гиперболическое подмножество.

Таблица 3

а<0 о>0

N. Неуст. Уст. N.

N. HeyCT. Уст. N.

dim Wl = ==dirair+l

dim Wl = = dimVt7o

dim Wl = =dim W

dim Wl = =dimWg-M

§ 6. Бифуркации, связанные с нетрансверсальными пересечениями

В этом параграфе рассматриваются бифуркации векторного поля, лежащего на границе множества систем Морса-Смейла, для которого неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально по всем траекториям, за исключением одной - простого касания либо квазитрансверсального пересечения.

6.1. Векторные поля без контуров и гомоклинических траекторий. Простым следствием теоремы Купки-Смейла является

Утверждение. Если описанное в начале параграфа поле Vo не имеет контуров и гомоклинических траекторий, то в окрестности Уо в х() всюду плотны векторные поля Морса- Смейла. (Всюду ниже г2, если Уо не имеет положений равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения в них и циклов с мультипликаторами е-*"; в противном случае г>3).

Тем не менее, при возмущении vq могут происходить бифур-.кации.

Определение. Две траектории Гь Гг динамической системы называются внутренне эквивалентными, если существует



гомеоморфизм фазового пространства" на себя, переводящий траектории в траектории, сохраняющий ориентацию на них и переводящий Ti в Гг.

Очевидно, разбиение на классы внутренне эквивалентных траекторий является топологическим инвариантом динамической системы. Бифуркации могут происходить без рождения или исчезновения неблуждающих траекторий, а быть связанными с изменением классов внутренней эквивалентности.

Определение ([30]). Траектория называется особой, если для нее существует е>0 такое, что для каждого е-близко-го к тождественному гомеоморфизма фазового пространства на себя, переводящего траектории в траектории и сохраняющего ориентацию на них, она остается инвариантной.

Очевидно, особая траектория принадлежит классу внутренней эквивалентности, содержащему не более счетного множества траекторий. Положение равновесия, предельный цикл, гетерокли-ническая траектория, принадлежащая WffiW", dim\Fi + --dim 12 - n=l, являются особыми.

6.2. Теорема о недостижимости. Пусть Ц и /,2-циклы векторного поля Vq такие, что пересечение Wl,r\Wl содержит траекторию простого касания либо квазитрансверсального пересечения.

Теорема. Если Wl{Wl) содержит особую траекторию, не совпадающую с Z,i(Z,2), то бифуркационная поверхность Bi недостижима в точке щ хотя бы с одной стороны.

При выполнении условий теоремы, Wl, (W"J является «гладким» пределом многообразий той же размерности других положений равновесия или циклов как для поля "Vq, так и для близкого векторного поля v. Поэтому для любого семейства {Vg}


Рис. 49. Неподвижные точки и инвариантные кривые диффеоморфизма плоскости, принадлежащего недостижимой части бифуркационной поверхности

Оно предполагается здесь компактным.



векторных полей найдутся сколь угодно близкие к нулю значения е, для которых W"{e) (Wl,(е)) будет иметь траекторию нетрансверсального пересечения (см. рис. 49). Здесь W"e)- неустойчивое многообразие гиперболического цикла поля -Ve, лежащего в окрестности L2; аналогично определяется Wl,(e).

-6.3. Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с «одинаковым» геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть /(/)-диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q) типа седло. Пусть Xi(AJ)-наибольшее по модулю собственное значение Df(p) (Pf(p)) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а ¥2(2)"" наименьшее по модулю собственное значение D/() (D/(0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что i(i)» 2(2) имеет кратность 1. Тогда [162]

существует гладкое инвариантное многообразие W"(\pJ), касательное в точке р ip) к сумме rWp©/?. (Пp.e/?JЛ где

Г/?я, -собственное подгростракство, отвечающее Я,;, (Яь Ki); а также-гл адкое инвариантное многообразие (v). касательное в точке q {q) к сумме TWe/v. («©2] Яуг собственное подпространство, отвечающее у2. Ъ

Определение ([137], [180]). Точка г простого касания либо квазитрансверсального пересечения WpP.Wg называется точкой регулярного пересечения коразмерности 1, если трансверсально к IvJ, а трансверсальго к в этой точке.

Хотя многообразия Wf и Wg не единственны, тем не менее, поскольку все многообразия \?р [Wg) касаются друг друга в точке р {q), то определение точки регулярного пересечения корректно.

Теорема ([137], [180]). Пусть /(/)--С2-диф(5:еомсрфизм, имеющий неподвижные гиперболическЕС точки р (р), q (q) и траекторию Г, состсяшую из точек регулярного пересечения. Тогда если существует топологическая согряженность между / и /, определенная в некотсрой окрестности Г, то

1) - касательное пространство к W.

> Если XlЯ, то uimRxt=i, в противном случае dimi?Xi "=2.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0035