Главная Промышленная автоматика.



чтиштт

Рис. 48. а. Отображение соответствия для седла с комплексным ведущим устойчивым направлением, б, в. Преобразование монодромни гомоклинической траектории седла с парой комплексных собственных значений. Заштрихованы полувитки и их прообразы, б) а+ЖО, в) ni.+X>0

Случай 2. a-f>0 (рис. 48 в). Положим:

n{k)=max {/11 lift n АП„ Ф 0}.

Замечание. Функции k (и п) определены и при а+Х>0 (а+Х<0 соответственно). Но при этом к{п) = п (/i(fe) = fe) -это вытекает из доказательства следующей леммы.

30. Лемма. Иш tiL-a- Ит=-- при a-fX<0

и а+Я>0 соответственно.



Определим arg Д (у, z), как непрерывную функцию на так, что atgh(y, z)\je.[0,n\. Тогда

I arg Д (у, Z) I пб12я {п-1). я (2я-1)].

Пусть, для определенности, отображение / сохраняет ориентацию; тогда полярный угол меняется под действием / на ограниченную величину. По формуле (1)

arg Дг (у, г) = - Р In г -Ь arg (1 -t- iy)-

Тогда

argA(y. г)=-р1пг4-0(1) при г-*-0. Следовательно,

тах11пгп = -21Г/г + 0(1).

\lnz\L =

+0(1).

Пересечение 11йПДП„ заведомо непусто, если max I In 21 In < max In г

и пусто, если Следовательно,

min I In г 1>max In г 11

k{n) = \a\-n-{-0(\) при a>L

nik)-fk + 0{\) при \a\<U

что и доказывает лемму. ►

4". Теорема немедленно следует из леммы. Действительно, пусть два поля, удовлегесряющие условиям теоремы, орбитально топологически эквивалентны. Тогда функции кип для этих полей совпадают с точностью до 0(1). Действительно, пусть Г* и Г -трансверсальные площадки для первого поля, и Г - аналогичные плсщадки для втсрого и -гомеоморфизм, переводящий фазсвке кривые первсго псля в фазсвые кривые второго. Образы ИТ* и ИГ негладки, но пересекают каждую фазовую кривую поля, расположенную в некотсрой окрестности этих площадок-сбразсв, в одной точке, поскольку Н-гомеомсрфизм. Уменьшая, если надо, Г" и Г и проектируя плсщадки ЯГ* и ИТ mTi и ri вдоль фазсвых [кривых втсрсго поля, получаем вместо площадок Г" и Ti принадлежащие им площадки пИГ* и. яИТ (л-проектирование вдоль фазсвых кривых второго поля). Ясно, что замена плсщадок Г* и Г-на меньшие меняет функции. k и п на О. (1). ►



5.7. Добавление: бифуркации гомоклинических петель вне границы множества систем Морса-Смейла.

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2" нарушены, то есть при (У<0 (а>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства {wJ, достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества; преобразование монодромни поля имеет при ефО конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей Уе при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла.

Более точно структура гиперболического подмножества при ефО описывается следующим утверждением.

Теорема ([П1], [П4]). Пусть Q(p) р>1, - подмножество схемы Бернулли из бесконечного числа символов, определяемое следующим образом: (... m i, то,..., /и,-,... )eQ(p) в том и только том случае, если mjj,\<pmj, /6Z. Тогда полено при ст<0 имеет гиперболическое подмножество, траектории которого-находятся во взаимно однозначном соответствии, сохраняющем асимптотические свойства ", с множеством Q(p), где р не превышает- Rei/Repi.

Замечание. Предельное значение р совпадает с модулем п. 5.6.

Для трехмерной системы бифуркационные явления при изменении параметра зависят не только от а, но от новой седловой величины 0i = 2Re7,i-f-p,i.

Теорема ([40], [147]). Если 0<О, то: 1) при 0i<O поле Уе при е из счетного множества интервалов будет иметь устойчивый цикл, смена устойчивости которого сопровождается бифуркацией, связанной с рождением цикла удвоенного периода; 2) при ai>0 существует счетное множество интервалов, для значений г из которых поле Уе имеет неустойчивый (устойчивый при f->-оо цикл). А

Поясним механизм возникновения счетного числа периодических, траекторий при п=3. В этом случае отображение по-следования, соответствующее гомоклинической траектории при нулевом значении параметра, уже изучено в п. 5.4; его образ и. прообраз изображены на рис. 48 е. Ограничение отображения последования на криволинейный четырехугольник при достаточно большом k представляет собой подкову Смейла; число таких подков счетно. Для любого натурального Л при достаточно близком к нулевому значении параметра отображение по-

" Т. е. периодическим траекториям соответствуют периодические, асимптотическим друг к другу - асимптотические и т. д.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [42] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0038