t<0

>0

Рис. 46 л.. Отображение соответствия для гиперболического седла, б. Образ м прообраз отображения последования, соответствующего гомоклинической

траектории седла

Для главных семейств существование циклов полей (или, что то же, неподвижных точек отображений последования) исследуется элементарно, поскольку отображения Де сохраняют !5-координату лишь при у=0, следовательно, достаточно изучить одномерные отображения Дег,=о. Графики этих отображений и их неподвижные точки показаны на рис. 47.

5.5. Версальность главных семейств.

Теорема. Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей {v} на гомоклинической траектории гиперболического седла в с вещественными одномерны-

ми ведущими направлениями в седле (может быть, после обращения времени) топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств У"*""*",..., V на гомоклинической траектории

поля Vo**, . . ., Vo .

Главные семейства векторных полей в R" с гиперболическим седлом, у которого ведущее устойчивое и неустойчивое направления одномерны (и, следовательно, вещественны) и при е=0 имеется гомоклиническая траектория, получаются из опи-

£<0

Е>0 / <0

Л£>0 £ = 0

Рис. 47. Графики факторизованных преобразований монодромни в главных

семействах

санных выше (при п=3) надстройкой седла и исследуются аналогично: для произвольного п верен аналог предыдущей теоремы.

5.6. Седло с комплексным ведущим направлением в RK Все

семейства, описанные в теореме пункта 5.2, имеют одинаковые неблуждающие траектории. Однако топологической эквивалентности семейств в случае комплексного ведущего направления препятствует наличие числового модуля. Опишем его для систем в R.

Теорема (В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, 1985 г.). Пусть гладкое векторное поле в R имеет гомоклиническую траекторию гиперболического седла с собственными значениями а+ф, К, а-Я<0. Тогда отношение а/К является топологическим инвариантом.

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я, = 1; докажем, что а - топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромни Д гомоклинической траектории седла Для этого выберем произвольную точку Р&у (Qy) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии W (неустойчивом одномерном многообразии W"). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Jy часть, в которую траектория у входит при t--оо, обозначим Возьмем две трансверсальные гладкие двумерные площадки ГЭР и TBQ (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение U+OT. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия д1: Г-Г; точка Р6Г+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри-

ваемого поля с началом Р и концом на Г, расположенной целиком в U+ (рис. 48а). Пусть / : (Г, Q)->-(r, Р) - росток преобразования монодромии (отображения последования), соответствующего дуге гомоклинической траектории у с началом Q и концом Р. Очевидно, f - росток диффеоморфизма. Росток преобразования монодромии А: (Г+, Р)-у{Г, Р) равен произведению ростков f о Аь Можно считать, что представитель ростка Al (обозначаемый тем же символом) определен на площадке

Г"*", и его образ принадлежит площадке ГэГ.

2°. Воспользуемся следующей теоремой Белицкого [39].

Пусть гладкое векторное поле имеет гиперболическое седло с собственными значениями Хь ..., и пусть не выполнено ни одно из соотношений Re?u, = ReXj4-Rea- Тогда росток поля в седле С-эквивалентен своей линейной части.

Рассматриваемое поле удовлетворяет условию теоремы Белицкого, поскольку вещественные части собственных значений седла равны а, а, 1; а<0. Следовательно, существует С-глад-кая карта {х, у, г) в некоторой окрестности О седла, линеаризующая наше поле. В этой карте W задается уравнением z=0, а W" - уравнениями х=у=0. Пусть PW, Q&U (требование близости точек Р и Q к седлу). Растяжением осей добиваемся- равенств

х(Р) = 1. {X, у, 2)(Q) = (0. О, 1).

Пусть площадки Г и Г лежат в плоскостях Л: х = 1 и ПгГ 2=1 соответственно, с картами (у, z)\ui и (л + /у)п,. В этих координатах

A,(l-f/y, z) = {z-i-+f).{l-riy), 1). (1)

Действительно, время перехода точки (1, у, z) на площадку Пг pflBHO In i, а преобразование фазового потока линейной системы

{х + 1уУ = {а+Щ{х->г1у). zz

имеет вид

g*{x. у, 2:) = (е("+Р)(л-]-гу), ez).

Образ Ai(r+) площадки Г* на площадке Г -это «толстая» спираль с центром 0; образ А (Г) -аналогичная, диффеоморфно преобразсванная «спираль» с центром Р на Г* (рис. 48а). Пересечение Г*ПА(Г) распадается на счетное число компонент - «полувитков», занумерованных в порядке их расположения вдоль спирали. Пусть П„ - криволинейный четырехугольник - прообраз к-й связной компоненты пересечения Г+ПА(Г*), (Г = У*ПГ).

Случай 1. a-f-A<0. Рассмотрим отображение к натурального ряда в себя, заданное формулой (см. рис. 486):

A(/i)=min{fein,nAn„:0}.