x,.(i)=iini "V>. я.(1)=пп1 iiHmi.

Каждый из этих пределов равен вещественной части одного из собственных значений оператора А (и называется характеристическим показателем Ляпунова для уравнения в вариациях). Множество векторов , задаваемых любым из неравенств Я+()=СЯ и 7, ()<Я, представляет собой плоскость без 0. Размерность этой плоскости такая, как если бы в определении характеристических показателей Ляпунова вместо X{t) стояло ехр At.

Замечания 1. Это предложение очевидно, если росток поля в точке О гладко эквивалентен своей линейной части, и доказано в [51] для произвольного ростка.

2. Пусть ведущее неустойчивое направление поля v в точке О вещественно и одномерно. Тогда плоскости

+(л)={ger,R« I я. (IX - v

имеют размерности s и «-[-1 соответственно. Отметим, что

3°. Третье требование общности положения на поле v при а<0. Пусть X - точка гомоклинической траектории. Требуется, чтобы плоскости L-{x) и L+{x) пересекались трансверсально (то есть по прямой, порожденной вектором v{x)).

При сг>0 третье требование на векторное поле получается из предыдущего обращением времени.

Четвертое требование налагается на семейство полей, обозначенное ниже {Уе}; vq-v.

4. Рассмотрим точку х гомоклинической траектории и росток (п-1)-мерной плоскости П в этой точке, трансверсальный полю zjg при малых е. Устойчивое многообразие Wl и неустойчивое W"особой точки О поля перасекают П пэ подмногообразиям суммарной размерности п-2. При е = 0 эти многообразия пересекаются в точке X.

Требование общности положения состоит в том, что при отклонении е от нуля эти многообразия расходятся на расстояние порядка е. *

Замечание. Требование 4 можно ослабить и теорема пункта 5.2 останется справедливой - это следует из теоремы п. 5.5.

5.4. Главные семейства в и их свойства. В этом пункте строятся «топологические нормальные формы семейств в окрестности гомоклинической траектории седла в R.» Соответствующие теоремы версальности формулируются в п. 5.5. Семейства строятся с помощью описанных ниже склеек из линей-

ного и стандартных векторных полей. Будем считать, что устойчивое многообразие W линейного поля двумерно, случай dimlF=l сводится к этому обращением времени. Семейств будет 4: они различаются знаком седловой величины и топологией инвариантного многообразия, полученного продолжением W.

Обозначим через Ki и К2 два экземпляра куба ll/ll, В кубе Ki рассмотрим векторные поля у- и у+:

-4у}-3х + 2г, а=-1.

а = 1.

В кубе К2 рассмотрим поле "8== - -гу е.

Рассмотрим следующие отображения склейки:

f:{-\,y,z)-{l,y,z),

f:{x,y, +у, ±х).

Склеим пары точек Рб/Сг и /(P)e/(i, а также QfKi и /*(Q)6/(2 (рис. 45). На множестве внутренних точек из каждого из полученных пространств можно задать структуру гладкого многообразия так, что полученные поля будут гладкими. Обозначим эти многообразия М+ и М~ (М* получено с помощью /*).

Рнс. 45. Построение многообразий Af*

Семейство полей v+- на М+, соответствующих (и+, v), обозначим {%)-, v) на М+-(и+, v) на М"-

(у-, Уе) на М~-V . Многообразия M+ и М" с полями на них могут быть гладко вложены в R. Четыре семейства . . .

..., V~ и называются главными. Поля семейств ..., V-, соответствующие е = 0, имеют гомоклиническую траекторию, склеенную из кусков координатных осей Ох и Oz. На двумерной трансверсали

Dh-={{x, у, z)\x\, \у\<\, 0<z<h}c:Ki

при достаточно малых А и е определено отображение последования поля каждого из главных семейств: точка PDl переходит

р точку первого возвращения на грань л=1 куба Ki положительной полутраектории с началом Р поля главного семейства, соответствующего параметру е. Соответствующие преобразования монодромни обозначаются Д++,..., Д--. Вычислим эти преобразования.

Обозначим через Д* (или Д"): Т->{г = Ц отображение соответствия для поля V* (или переводящее точку P6D в точку на грани z = \, через которую положительная полу траектория поля с началом Р выходит из куба Ki- Пусть Де-отображение грани л = 1 куба К2 в плоскость х= - 1 вдоль траекторий поля Де(1, у, z) = {-\, у, 2 +б). Отофаженис Д++ имеет вид (см. рис. 45, 46)

Д++= /сД,с/*сД+.

Имеем

Д±(1, у, z) = (zv±, 1), v- = , v = l Д++(1, у, z) = (l, yz i + e).

Аналогично

Ав+~(1. У. z)=[\. -yz\ -+б).

ДГ+(1, У, z) = [\, yz z+в], Д~(1. у, z) = il. -yz. -z" -fe,.

При достаточно малых h отображения Д-+, Д-- сжимающие, а отображения Д++, Д- «гиперболические» - они растягивают в направлении z и сжимают в 11аправлении у. Отсюда можно вывести следующие результаты:

1. Поля V~~ при е>0 имеют устойчивый предельный цикл L~{b), а при е<0-не имеют. Неблуждающее множество V-+, V- состоит из особой точки О при е<0, 0\]Ь-{г) при е>0 и our при е=0, Г - гомоклиническая кривая.

2. Поля имеют седловой предельный цикл L+(e) с двумерными устойчивым и неустойчивым многообразиями при е<;0, е>-0 соответственно, причем для {v) устойчивое и неустойчивое многообразия гомеоморфны цилиндрам (листам Мёбиуса). Никаких неблуждающих траекторий, кроме О и цикла Z.*(e) при гфО и гомоклинической траектории Г при е-О, поля не имеют.

3. Аналогичные утверждения верны для однопараметрических семейств гладких векторных полей, достаточно С-близких в Ki, 2} к главным семействам.