Главная Промышленная автоматика.

Таблица 1

Класс (описание вырождения)

Типичный рос! Нормализованная струя

Требования типичности

Нормализованный росток

Главные семейства

Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты

Одно нулевое собственное значение

X = ал:

Х<=Х

х = х + е (1+) ;с=л:=-е (1-)

Рис. 3

Пара чисто мнимых собственных значений

z = z (ш + Лр)

Re АфО

г = г(/ + р)

z = zii + e+p) (2+) 2=г(г--Е-р) (2-)

Рис. 4

Одно нулевое собственное значение и jx-кратное вырождение в нелинейных членах:

д;= ±х+

+ (X, е) (3±)

Рис. 5, 6

Пара чисто мнимых собственных значений и ц-кратное вырождение в нелинейных членах:

14-1

/ V \

• \ 1 / Re Л/ = 0, .... V-1

Re ЛО

=г(г±р)

г = г(/±р + Р(р, 8)) (4±)

Рис. 7, 8

Два нулевых собственных значения

Хг" ах1 + bXtXi+cxt

Xi = Х2

«= Jrl±л;lJ:2-l-8l-f--f е,;с (5)

Рис. 9, 10





Рис. 3. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты дли главных

семейств (1+) и (1-)

чива, как и при 8=0; при 8>0 она становится неустойчивой. Однако некоторая окрестность особой точки при малых 8>0 остается поглощающей: фазовые кривые с началом на ее границе входят в эту окрестность и навсегда в ней остаются; только теперь они наматываются не на особую точку, а на предельный цикл - окружность радиуса У8. Физики говорят, что в этом случае происходит мягкое возникновение автоколебаний или мягкая потеря устойчивости (рис. 46).

(© СУ (з

£<0

£>0

£<0


£=0


£>0

Рис. 4. Бифуркационные

диаграммы н фазовые семейств (2+) н (2-)

портреты для глазных

Рассмотрим теперь семейство (2+). При е<0 особая точка О устойчива, однако ее бассейн- (область ее притяжения) при е,-- О становится малым (радиуса У-е). При 8=0 особая точка О неустойчива, как и при е>0; все фазовые кривые, кроме положения равновесия, покидают некоторую окрестность особой точки при всех достаточно малых еО. Эта ситуация называется жестким возбуждением или жесткой потерей устойчивости: при прохождении е через нуль система скачком переходит на другой режим (стационарный, периодический или более сложный), далекий от изучаемого положения равновесия (рис. 4а).



§ 3. Бифуркации особых точек в ммогопараметрических семействах общего положения при однократном вырождении линейной части

В этом параграфе рассматривается класс негиперболических ростков векторных полей, имеющих такие же вырождения линейной части, как и в предыдущем параграфе, и, кроме того, .дополнительные вырождения в нелинейных членах.

3.1. Главные семейства.

Теорема. Ростки с одним нулевым собственным числом (с одной парой чисто мнимых собственных чисел) разбиваются та бесконечное число классов, примыкающих" друг к другу:

AiA2

Класс Л(В) имеет коразмерность р в пространстве ростков с особой точкой 0. Он определяется тейлоровским многочленом поля степени р--1 (2р+1) в особой точке: в подходящих координатах уравнение на центральном многообразии должно записываться в виде, указанном в столбце 3 таблицы! (строки 3 и 4). Классы и B, встречаются неустранимьш мальпи шевелением образом в семействах, зависящих от не мейее чёмр параметров. Типичное семейство, содержащее росток класса Л, стабильно (с точностью до надстройки седла)" локально топологически эквивалентно (указанному в таблице 1) главному семейству и является, как и оно, версальной деформацией сво- его самого вырожденного поля. Аналогичное утверждение справедливо для семейств, содержащих росток Класса В, только «эквивалентность» следует заменить «слабой эквивалент-ностью».А

Классификация локальных [-параметрических семейств, содержащих ростки класса B„ с точностью до обычной, а не слабой, эквивалентности, имеет функциональные модули при ц4. Это явление обсуждается ниже в п. 5.11 главы 2. При i<4 «слабую эквивалентность» для деформаций ростков класса B, можно, по-видимому, ззменить обычной; при ц= \ это доказано (см. п. 2.1 выше).

" Опредеоченне примыкания в [26, стр. 71] расходится с общепринятой терминологией, его следует читать так:

Пусть А к В - два непересекающихся класса ростков векторных полей в особой точке 0. Скажем, что класс В примьжает к классу А (пишется В-А), если для каждого ростка v класса В существует непрерывная дефор-.мация, выводящая этот росток в класс А. Точнее, существует непрерывное семейство ростков {ь(<б[0, 1]} такое, что to=t и г, - росток класса А при scex fe[0, 1]

На рис. 15 [26] следует изменить направление стрелок.





0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0035