предположим, что при малых е>0 точка Q исчезает, а при е<0 распадается на две невырожденные. Пусть - окрестность точки Q, в которой определено проектирование n:w-wq вдоль слоев сильно устойчивого слоения Ft) диффеоморфизма /о на его центральное многообразие. Окрестность w делится многообразием Wq на две части и w, определяемые требованиями: nfow-aw, nfow*(w. Поскольку все точки на Sq - гомоклинические, то для любой дуги Гето существует такое к, что дуга /*Г принадлежит w.

Дополнительное требование на /о состоит в следующем. Существует дуга TczSqCiw, обладающая следующими свойствами

Г. Начало Г переходит в конец под действием /о.

2°. Существует целое k и слой Faw слоения F такие, что: область, заключенная в окрестности w между слоями F и foF высекает на кривой Г = /*Г две дуги, трансверсальные слоению F (см. рис. 43).

Рис. 43. Пересечение неустойчивого множества s-критического цикла со связной компоиентой фундаментальной области преобразования монодромии

Поясним теперь, почему при сколь угодно малых положительных е аттрактор As бывает странным.

Рассмотрим такую окрестность V дуги Г, образ которой V = fV (являющийся окрестностью дуги Г) целиком принадлежит w. Для любого бо > о существует положительное е < ео и целое Л(е) такие, что

1°. Образ l/"==/<V представляет сжатую по гиперболическим переменным стремится к бесконечности) и не сильно НИИ, параллельном касательной в нуле к кажение оценивается равномерно по е).

2°. Существует такая последовательность интервалов на отрезке [О, Ео], стремящаяся к нулю, что для значения е из любого из этих интервалов подкова V" пересекает область V по двум связным компонентам, образ каждой из которых при проектиро-

собой подкову, сильно (при еО степень Л(8) искаженную в направле-Wq (это последнее ис-

вании л содержит Г. Хотя отображение 4>е = f":V-V" - не настоящая подкова Смейла) (есть сжатие в одном направлении, но нет растя:кения в дополнительном), можно доказать существование счетного числа циклов у диффеоморфизма SPe, а значит, и /е.

Тем самым, аттрактор не является одномерным многообразием.

С другой стороны, при достаточно малом е, некоторая степень диффеоморфизма fe уменьшает двумерные объемы. Поэтому аттрактор А не является и многообразием размерности выше 1. Следовательно, аттрактор Ле - странный.

4.6. Двухшаговый переход от устойчивости к турбулентности. Можно представить себе однопараметрическое семейством векторных полей, в котором значениям параметра меньше первого критического соответствуют поля с глобально устойчивой, особой точкой. При прохождении первого критического значения рождается устойчивый предельный цикл; при прохождении второго критического значения этот цикл исчезает, как описано-в п. 4.5. При этом рождается странный аттрактор и наступает хаос.

Здесь рассматриваются только бифуркации, заметные дл» «физического наблюдателя», который видит только перестройки устойчивых (установившихся) режимов.

4.7. Некомпактное множество гомоклинических траекторий. Всюду в этом пункте цикл L - узел по гиперболическим переменным, для определенности - устойчивый.

Будем предполагать, что векторное поле, имеющее цикл с мультипликатором 1 и с некомпактным объединением множества гомоклинических траекторий с L, удовлетворяет следующим условиям общности положения: его неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических, кроме L, циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально между собой и с 5", 51, Wl, Wl, последние пересекаются трансверсально в каждой точке, не принадлежащей L.

Следующая лемма доказывается аналогично [198].

Лемма. При сформулированных предположениях векторное поле Vo имеет контур Qo, Qi, • - -, Qr, содержащий L = Qj и такой, что устойчивые и неустойчивые множества элементов контура пересекаются трансверсально (случай 2, п. 1.5).

Переобозначим элементы контура так, чтобы L = Qo{ = Qk)-Из трансверсальности пересечений многообразий и ?:-леммы несложно вывести.

Следствие. Для любого семейства векторных полей {vg}, пересекающего бифуркационное множество в точке и не имею-

•щего при е>0 предельных циклов з окрестности L, существует - 1) последовательностей {ef} igN, s6{l, ...,к - Ц, О лри г 00, таких, что при е = ef векторное поле имеет гомоклиническую траекторию положения равновесия или цикла Qj.

Будем говорить, что имеет место случай В, если k=2, и Qi -• положение равновесия типа седло либо с ведущим устойчивым направлением, отвечающим вещественному собственному числу, либо, в противном случае, с отрицательной седловой величиной (см. п. 5.1). Во всех других случаях будем говорить, что им-ет место случай А.

Из предыдущего следствия вытекает

Теорема ([28]). Если имеет место случай А, то на отрезке (О, ео], бо - достаточно мало, существует {k-1) последовательностей интервалов {6f}/gN. sg{l.....k - l}, стягивающихся к нулю

при г-оо таких, что при e66f ве.<торное поле Ve имеет счетное множество седловых предельных циклов.

Следствие. Предположим, что в дополнение к условиям теоремы выполнено следующее условие: для любого положения равновесия или цикла Q такого, что SICiWq 0, имеет место включение Wq\Qc:SI. Тогда при е6б1 векторное поле имеет странный аттрактор в окрестности 5", стремящийся к этому множеству при е->0.

Случай В, насколько нам известно, не исследован.

4.8. Перемежаемость. Предположим, что выполнены условия предыдущего следствия, либо условия теоремы п. 4.5, т. е. у векторного поля существует странный аттрактор для е>0. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию (х) на фазовом пространстве. Пусть x=x{t)-траектория, принадлежащая странному аттрактору. Тогда график функции-ф (л; ()) в общем случае имеет следующий вид: длинный цуг близких к периодическим осцилляции - на этом интервале времени изображающая точка находится в малой окрестности исчезнувшего цикла - затем «турбулентный» всплеск, затем снова интервал периодичности и т. д. Такой режим был назван в [170] перемежаемостью. Перемежаемость свидетельствует о бифуркации возникновения странного аттрактора при исчезновении полуустойчивого цикла и часто встречается в моделях реальных *про-цесов (см., например [63], [171]).

Кроме перечисленных случаев, перемежаемость может быть обусловлена исчезновением цикла с мультипликатором 1, узлового по гиперболическим переменным, имеющего гомоклиническую траекторию, принадлежащую W (векторное поле в этом случае уже не принадлежит границе множества систем Морса-Смейла, см. [81]).

4.9. Достижимость, недостижимость. Пусть -Уо-векторное поле общего положения (т. е. удовлетворяющее условиям, анало-