Рис. 42. Трансверсальиое сечеиие множества гомоклинических траекторий s-критического цикла (компактный случай)

зультате вместо грубых положений равновесия рождаются грубые циклы, вместо циклов - торы или бутылки Клейна и т. д.

Теорема ([31]). В однопараметрическом семействе общего положения может встретиться векторное поле, обладающее следующими свойствами:

Г, Поле имеет негиперболический цикл L с мультипликатором 1.

2°. Объединение цикла и его гомоклинических траекторий некритично и компактно.

3°. Цикл L - устойчивый узел по гиперболическим переменным.

Пусть такое поле соответствует нулевому значению параметра семейства. Тогда

10. Все поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля и достаточно близким к нулю, имеют гладкие двумерные аттракторы М, диффеоморфные тору

или бутылке Клейна. При аттрактор М1 стремится к объединению StijL, которому он гомеоморфен.

2°. Все поля семейства, соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля, имеют по два грубых предельных цикла и не имеют других неблуждаюших траекторий и некоторой окрестности объединения множества гомоклинических траекторий цикла L с самим циклом. А

Случай неустойчивого узла по гиперболическим переменным сводится к предыдущему обращением времени; рождается гладкий репеллер\ диффеоморфный тору или бутылке Клейна.

4.4. Рождение сложных инвариантных множеств (некритический случай).

" Репеллер - инвариантное множество динамической системы, превращающееся в аттрактор при обращении времени.

Теорема. В однопараметрическом семействе общего положения может встретиться векторное поле, обладающее свойствами Г и 2° из теоремы п. 4.3, а также свойством

3°. Цикл L - типа седло по гиперболическим переменным, и объединение его гомоклинических траекторий связно.

Пусть такое поле соответствует нулевому значению параметра семейства. Тогда для семейства справедливы заключения 1° и 2° теоремы п. 4.3; только «аттрактор м1у> в утверждении 1° нужно заменить на «инвариантное многообразие м1у>, оно не является ни аттракторсм, ни репеллером. А

При бифуркации цикла, объединение гомоклинических траекторий которого некритично и состоит из р торов и бутылок Клейна (р>1), рождается инвариантное гиперболическое множество, содержащее счетное число двумерных инвариантных многообразий.

Теорема. В однопараметрическом семействе общего положения может встретиться векторное поле, обладающее свой-ставами 1° и 2° из теоремы п. 4.3, а также свойством

3°". Цикл L - седло по гиперболическим переменным, и объединение его гомоклинических траекторий состоит из р связных компонент.

Пусть такое поле соответствует нулевому значению параметра семейства. Тогда

1°. Все поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля и достаточно близким к нулю, имеют инвариантные множества £2.

2°. Все компоненты линейной связности пространства двумерны. Существует взаимно однозначное отображение множества зтих компонент на множество траекторий топологической схемы Бернулли из р символов. Компонента линейной связности компактна, если и только если соответствующая траектория периодична.

3°. Для семейства справедливо заключение 2° теоремы пункта 4.3. А

Теоремы этого пункта анонсированы в [33] для п=А.

4.5. Критический случай. В случае, когда объединение гомоклинических траекторий цикла с мультипликатором 1 компактно и критично, при бифуркации соответствующего поля могут возникнуть странные аттракторы.

«Теорема» ([31], [180]). В однопараметрических семействах общего положения может встретиться вектсрнсе поле (скажем, го), обладающее свойствами 1° и 3° из теоремы п. 4.3; а также

свойством 2° : сбъединение цикла L и его гомоклинических траекторий является компактным и критическим; множество 5 касается некоторых слсев вполне устойчивого слоения FY- Пусть такое поле соответствует нулевому значению параметра семейства. Тогда

1°. По одну сторону от нуля имеется открытое множество с предельной точкой О, состоящее из счетного объединения интервалов. Каждому значению е из этого множества соответствует лоле семейства, имеющее странный аттрактор NU. Этот аттрактор содержит счетное множество периодических траекторий и стремится к объединению Siy\}L при е->-0.

2°. Справедливо заключение 2" теоремы пункта 4.3. А

Эта теорема, в несколько иных терминах, сформулирована в [1801, где дан набросок ее доказательства". Полное доказательство теоремы получено в [31] при дополнительном требовании на поле Vq (не повышающем коразмерности вырождения, но сужающем область рассматриваемых вырожденных полей на гиперповерхности коразмерности 1 в функциональном пространстве). Сформулируем это требование и заодно поясним механизм возникновения странного аттрактора.

Предположим для простоты, что преобразование монодромни цикла L (как функция от начальных условий и параметра) может быть продолжено в окрестность пграсечения плоскости, трансверсальной к полю, и объединения гомоклинических траекторий цикла. На этой плоскости циклу соответствует неподвижная точка Q диффеоморфизма /о, соответствующего полю Oq. Один мультипликатор этой неподвижной точки разен 1, остальные по модулю меньше 1. Объединение гомоклинических траекторий высекает на трансверсали кривую Sq, которая становится замкнутой при добавлении точки Q (рис. 42). Сильно устойчивое слоение, соот-ветствующег полю го, высекает на трангвеэсали сильно устойчивое слоение Fq диффеоморфизма /о; кризая Sq касается некоторых слоев этого слоения.

Прежде чем формулировать дополнительное требозание на поле Vq, приведем грубое рассужа;ение, подтзержтающее существование аттрактора. Поскольку в некоторой окрестности точки Q диффеоморфизм /о-сжимающий по гиперболическим переменным, существует некоторая окрестность U «гомоклинической кривой» Sq и Q, замыкание которой u компактно и переходит в u под действием /д. Тогда для всех достаточно малых е, fJJclU. Пересечение

и будет максимальным аттрактором диффеоморфизма f. Ниже в этом параграфе эпитет «максимальный» опускается.

Аналог этой теоремы для случая седла по гиперболическим переменным {когда вместо аттрактора рождается сложное инвариантное множество) анонсирован в [33]. Отметим, что полное доказательство теоремы до сих пор яе опубликовано и, по-видимому, не получено.