Главная Промышленная автоматика.

6) число точек минимального несущего множества ограничено (постоянной, зависящей лишь от /).

Слабую эквивалентность здесь нельзя заменить обычной, см. пример 4.

Доказательство или опровержение приведенных утверждений, безусловно, необходимый этап при рассмотрении нелокальных бифуркаций в типичных /-параметрических семействах. Пока известно мало: даже для семейств, состоящих из грубых и квазиобщих векторных полей, пункты 3) и 4) (а только они для подобных семейств нетривиальны) не доказаны. Насколько нам известно, при 1=2 рассматривались лишь две нелокальные бифуркации.

Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С, гЗ, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39.

Теорема 2. Пусть векторное поле vcG%{M), гб, имеет контур Г, состоящий из двух седел О и Ог и двух сепаратрис Гь Гг таких, что a(ri) =со(Г2) = {Oi}, «(Гг) =(o(ri) = {02}. Пусть - собственные числа линейной

£2 е°=(о,о)еЕ




£2




Рис. 39. Бифуркациоииая диаграмма и перестройки фазовых портретов для типичной двупараметрической деформации векторного поля с петлей сепаратрисы. Бифуркационная кривая, отвечающая полуустойчивому циклу, имеет бесконечный порядок касания с осью ei в нуле










Ек £.


Ео = {(0,0)}




;Рис. 40а. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов для типичной двупараметрической деформации векторного поля с контуром из .двух седел, а. Седловые величины разных знаков, б. Седловые величины

одного знака

части поля Uo в точке Oi, i, 2}, Qi = ki\-\-ki2, A=XiiX22-

. Л12Я21. Предположим, что Г имеет окрестность И, гомеоморф-. ную RXS, такую, что одна из компонент UW не пересекается с устойчивыми и неустойчивыми многообразиями точек Оь 0-1. Положим k=\ (ft = 2), если <ji-C2<0, Д>0 (Д<0), ==3, Л=4), если Oi<0 (Oi>0), i=l, 2. Тогда типичная двухпарамет-рическая деформация {pcz.!{М), гб, с носителем на Г имеет бифуркационную диаграмму, изображенную на рис. 40а (рис. 406) при k=\ (Л = 3), а при k=2 (Л=4)-диаграмму,получающуюся из диаграммы рис. 40 а (рис. 40 6) сменой направ-











£4

е7 Eg




Рис. 406

ления времени. Перестройки фазовых портретов в теореме 2 также изображены на рис. 40а, бК

2.9. Некоторые открытые вопросы. Кроме приведенных в предыдущих пунктах этого параграфа, выделим еще несколько вопросов.

1. Какова структура компонент бифуркационного множества, отвечающих системам с бесконечным неблуждающим множеством?

В частности, могут ли они содержать подмногообразия коразмерности 1?

2. Что можно сказать о бифуркациях систем на неориенти-руемой поверхности рода больше 3?

V Случай а исследован В. Ш. Ройтенбергом (1985); случай б - В. П. Ноздрачевой, (РЖМат, 1981, 8Б233); рождение циклов при бифуркациях контуров на плоскости исследовано Рейном (Lect. Notes Math., 1980, № 810)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0045