плоскости (z) есть хотя бы один корень уравнения /g(z)=0.

Тогда: 1) число вращения со(е) диффеоморфизма /е-канторов-ская функция, не убывающая при дН/двО и не возрастающая при (?й/(?е<0; 2) каждое свое рациональное значение функция со принимает на некотором интервале; 3) функция а строго возрастает при дН/двуО (строго убьшает при дН1дв<0) на множестве тех значений е, которым соответствуют иррациональные. значения а.

Пример. От ображение

fs{x) = x-B- sm2nx

удовлетворяет всем условиям теоремы. График ©(е) представлен на рис. 37.

Рис. 37. График зависимости числа вращения от параметра

Замечание. Знание зависимости числа вращения от параметра позволяет указать все бифуркации, осуществляющиеся: при изменении е, за исключением, быть может, бифуркаций, происходящих при постоянном рациональном числе вращения, т. е. бифуркаций слияния и исчезновения (или возникновения) циклов при условии, что некоторые другие циклы при этом сохраняются (см. также п. 7.1).

2.7. Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна. До недавнего времени оставалась нерешенной проблема: существует ли на компактном многообразии однопараметрическое семейство векторных полей {uJ с базой [О, 1], имеющих при е<1 предельный цикл, длина которого неограниченно возрастает при в->-1; цикл расположен на положительном и отделенном от нуля равномерно по е расстоянии от особых точек поля Ue и исчезает при г=1. Такая бифуркация цикла получила название «катастрофа голубого неба» [184].

В [84] построено однопараметрическое семейство {uJ векторных полей на бутылке Клейна и двумерном торе, в котором, происходит катастрофа голубого неба, причем на бутылке Клейна семейство является типичным, а поле Vi - квазиобщим: оно имеет двукратный предельный цикл L, а все остальные-траектории- двоякоасимптотические к нему (при е=1 на бу-

тылке Клейна нет глобальной секущей). При е<1 этот цикл исчезает, возникают два цикла 16 {1, 2}, негомотопные L, один из которых устойчив, другой - неустойчив, а все остальные траектории блуждающие. Для всех е, 0е<1, поле у, -грубое, откуда следует достижимость бифуркационной поверхности в точке Vl из области грубых систем.

Для поля -Уе, являющегося поднятием -Уе при двулистном накрытии бутылки Клейна тором, при гф\ существуют два предельных цикла Ze, Ze, являющиеся прообразами циклов L\ соответственно. При е-] каждый цикл ведет себя следующим образом: он многократно накручивается по часовой стрелке на тор в некотором узком кольце Къ а затем столько же раз раскручивается (против часовой стрелки) в некотором другом кольце/Гз; Kir\K2=0, границы Ki и /Гг -гомотопные друг другу окружности (рис. 38).

Рис. 38. Катастрофа голубого иеба иа двумерном торе

Кроме этого примера, других результатов по нелокальным бифуркациям на бутылке Клейна нет. Тем не менее, возможность полного описания бифуркаций в типичных однопараметрических семействах (теорема типа п. 2.2) кажется более осуществимой, чем на других поверхностях, поскольку на бутылке Клейна не могут существовать нетривиальные устойчивые по Пуассону траектории [16], [172].

2.8. Бифуркации на двумерной сфере. Многопараметрический случай. Хотя даже локальные бифуркации в высоких коразмерностях (начиная с трех) на диске полностью не исследованы, тем не менее, полезно затронуть вопрос о нелокальных бифуркациях в многопараметрических семействах векторных полей на двумерной сфере. При их описании возникает необходимость выделения множества траекторий, определяющих перестройки в семействе.

Определения (В. И. Арнольд, 1985).

1. Конечное подмножество фазового пространства называется несущим бифуркацию, если существует сколь угодно ма-

лая его окрестность и (зависящая от нее) окрестность бифуркационного значения параметра такие, что вне этой окрестности множества деформация (при значениях параметра из второй окрестности) топологически тривиальна.

Пример 1. Любая точка седловой связки (включая оба седла) несет бифуркацию, даже если добавить к ней еще любые другие точки. В системе с двумя седловыми связками точка на связке (внутренняя) несет бифуркацию лишь вместе с точкой на другой связке.

2. Носителем бифуркации называется объединение всех минимальных несущих бифуркацию множеств (минимальное - не содержащее собственного подмножества, несущего бифуркацию).

П р и м е р 2. В системе с одной седловой связкой (стандартно бифурцирующей) носитель совпадает с седловой связкой, включая концы - седла.

3. Две деформации векторных полей с носителями бифуркации 2i и 22 называются эквивалентными или слабо эквивалентными на носителях, если существуют такие сколь угодно малые окрестности носителей и (зависящие от них) окрестности бифуркационных значений параметров, что ограничения семейств на эти окрестности носителей топологически эквивалентны или слабо эквивалентны" над этими окрестностями бифуркационных значений.

Пример 3. Все деформации векторных полей с простой седловой связкой эквивалентны друг другу, независимо от числа грубых положений равновесия и циклов в системе в целом.

Пример 4. Трехпараметрические деформации векторного поля вблизи трехкратного цикла слабо топологически эквивалентны, но, вообще говоря, не эквивалентны: классификация таких деформаций по отношению топологической эквивалентности имеет функциональные инварианты (см. п. 5.И, гл. 2)

Гипотеза (В. И. Арнольд, 1985). В типичном /-парамет-рическом семействе векторных полей на S:

1) все деформации слабо эквивалентны конечному числу (зависящему лишь от /) на своих носителях;

2) бифуркационные диаграммы, соответствующие отношению слабой эквивалентности, (локально) гомеоморфны конечному числу (зависящему лишь от /) образцов;

3) осуществляющиеся деформации версальны и слабо структурно устойчивы;

4) семейство в целом слабо структурно устойчиво;

5) носители бифуркаций состоят из конечного (зависящего лишь от I) числа (особых) траекторий;

) Определение топологической и слабой топологической эквивалентности семейств и их структурной устойчивости и слабой структурной устойчивости аналогично приведенному в п. 2.2, лишь отрезок / нужно заменить окрестностью бифуркационного значения.