2.2. Нелокальные бифуркации на сфере; однопараметриче-ский случай. Начнем с определений. Пусть М - двумерная замкнутая гладкая поверхность, Ч*"(И)-множество С-гладких семейств С-гладких векторных полей на М; это множество состоит из С-отображений отрезка /=[0, 1]Эе в пространство-7Л(Щ- Семейство типично, если оно принадлежит множеству второй категории Бэра" в •"{М).

Определение ([169]). Два семейства {ve}, {tWelQ*(Л1) тояологтески эквивалентны, если существует гомеоморфизм H = (h, r]):AiXl-MXI (где т]-сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /) такой, что для любого еб/ гомеоморфизм (А, r](e))sA£:M->yW есть топологическая эквивалентность между Ve И We- Семейство называется структурно устойчивым, если оно топологически эквивалентно любому близкому семейству; другими словами, если оно принадлежит внутренности своего класса эквивалентности.

Определение слабой топологической эквивалентности семейств получится, если в предыдущем определении считать, что отображение К-Н{-, г) vM-M по-прежнему гомеоморфизм, но не обязательно непрерывно зависящий от е. Семейство назЫ вается слабо структурно устойчивым, если оно слабо топологически эквивалентно любому близкому семейству.

Легко видеть, что семейство, содержащее лишь грубые векторные поля, будет структурно устойчивым.

«Теорема». 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S, kl, встречается не более счет-

ного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое.

2. При изолированных бифуркационных значениях параметра возможны лишь те нелокальные бифуракции, которые перечислены в теореме пункта 2.1.

3. Точки накопления бифуркационных значений параметра являются их односторонними пределами и могут быть лишь следующих двух типов: а) в бифуркационный момент, соответствующий точке накопления бифуракционных значений параметра, векторное поле имеет петлю сепаратрисы седла, являющуюся предельной для устойчивой или неустойчивой сепаратрисы другого седла (рис. 35); б) поле имеет цикл с мультипликатором -j-l, предельный для устойчивой и неустойчивой сепаратрис двух разных седел (рис. 32). К этим точкам накапливаются бифуркационные значения, отвечающие векторным полям, имеющим седловые связки.

Множество второй категории Бэра - это пересечение счетного числа открытых всюду плотных множеств.

4. Однопараметрическая деформация соответствующей бифуркационному значению параметра системы, определенная типичным семейством, при значениях параметра, близких к бифуркационному, топологически версальна и структурно устойчива: любая другая деформация топологически эквивалентна индуцированной из данной, любая близкая однопараметрическая деформация топологически эквивалентна данной.

5. Семейство в целом структурно устойчиво. А

t>0

Рис. 35. Бифуркация петли сепаратрисы, предельной д.пя СёПаратриСЫ другого седла. При е<0 показан момент возникновения седловой связки

Полное доказательство теоремы не опубликовано. Заключение 2 доказано в работах [8], [9], из которых, кроме того, можно вывести 4 (см. также [156]). Отдельные результаты содержатся в [169], [201]. Ниже будут подробнее описаны типичные семейства и уточнено, какие пункты теоремы не доказаны.

2.3. Типичные семейства векторных полей. Типичное семейство векторных полей - это дуга в функциональном пространстве, трансверсально пересекающая бифуркационную поверхность в «типичной точке». Чтобы строго определить эти точки, необходимо выделить класс систем «общего положения» в множестве всех негрубых систем.

• Определение ([201]). Векторное поле на двумерной поверхности называется квазиобщим, если неблуждающее множество порождаемой им динамической системы состоит из конечного числа положений равновесия и циклов, причем выполнено одно из двух условий:

1) все положения равновесия и циклы гиперболичны, и имеется единственная седловая связка - сепаратриса, идущая из седла в седло;

2) все положения равновесия и циклы гиперболичны, кроме одного; набор собственных значений негиперболической особой точки или мультипликаторов негиперболического цикла вырожден; соответствующее вырождение имеет коразмерность 1 и опи-

сано выше (см. § 2, гл. 1 и § 1, гл. 2). Кроме того, нет седловых связок и сепаратрис, «соединяющих» седло-узел и седло".

Динамическая система, порожденная квазиобщим полем, называется квазиобщей.

Теорема ([201]). Если г4 и М - либо замкнутая ориентируемая поверхность, либо замкнутая неориентируемая поверхность рода g3\ то множество квазиобщих векторных полей класса на Ж: 1) является С"~-подмногообразием пространства векторных полей х{М), погруженным в него; 2) всюду плотно в бифуркационном множестве.

Пусть В - произвольное связное подмножество топологического пространства X. Окрестностью точки xGB во внутренней топологии будем называть содержащую х связную компоненту пересечения В с окрестностью точки х в объемлющем пространстве X. Это определение задает «внутреннюю» топологию в множестве квазиобщих векторных полей (в объемлющем пространстве х{М)). В случае, когда квазиобщие системы плотны в бифуркационном множестве в смысле внутренней топологии, однопараметрическое семейство общего положения содержит только грубые и квазиобщие системы (рис. 36а). Если квазиобщие системы плотны в бифуркационном множестве лишь в топологии, индуцированной вложением в пространство векторных полей, то в однопараметрических семействах неустранимым малым шевелением образом могут встречаться негрубые и не квазиобщие поля (рис. 36 б).

Рис. 36. Возмсжное расположение бифуркационных поверхностей:

«1» - негрубые векторные поля, «2» - квазиобщие поля, а. Плотность во внутреяней топологии, б. Плотность в топологии объемлющего простралства. Линия, трансверсально пересекающая бифуркационные поверхности, изображает типичное однопараметрическое

семейство

Теорема. Множество квазиобщих векторных полей на двумерной сфере или проективной плоскости плотно в множестве всех негрубых векторных полей с внутренней топологией.

Эта теорема следует из классических результатов [8], [9].

* Под сепаратрисой положения равновесия типа седло-узел подразумевается здесь часть центрального многообразия, не принадлежащая двумерному устойчивому или неустойчивому множеству; другими словами, общая граница двух гиперболических секторов.

2) Ограничения на топологический тип поверхности появляются из-за того, что для поверхностей, ие перечисленных в формулировке теоремы, не доказана в С-топологии лемма о замыкании при