Главная Промышленная автоматика.

Определения. 1. Надстройка седла (с s-мерным устойчивым и «-мерным неустойчивым многообразием, sO, ыО) над семейством

называется семейство

х = 1ю{х,г), у = -~у, z = z, убК гбК".

2. Центральным многообразием локального семейств» (•о; О, 0), •0(0, 0)=0, называется центральное многообразие-в точке (О, 0) соответстеующей системы

х - ю(х, е), 8 = 0.

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семейство-векторных полей (и; О, 0), и (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-{w\ О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с - размерность центрального-многообразия ростка v{-, 0)). Если локальное семейство (ш; О, 0) является версальной деформацией ростка ш(-, 0), то-исходное семейство (v; О, 0) является версальной деформацией, ростка и(•, 0). ▲

Замечание. Росток в нуле системы

i==-W{l,E), 8 = 0

топологически эквивалентен ростку ограничения системы

х = ю{х, 8), 8=0

на ее центральное многообразие в точке 0; сопрягающий гомеоморфизм сохраняет е.

1.7. Типичные и главные семейства. Начнем с определения. Рассмотрим семейство векторных полей и(-, в). Топологическая орбитальная эквивалентность или слабая эквивалентность определяет разбиение пространства параметров на классы. Это-разбиение называется бифуркационной диаграммой семейства. Если не сказано, какое отношение эквивалентности использовано при построении бифуркационной диаграммы, то подразумевается обычная эквивалентность.

Полное топологическое исследование деформаций ростков векторных полей в особой точке (в случае, когда его удается осуществить) проводится по следующему плану.

1. Класс деформируемых ростков, имеющих то или иное вырождение, например, нулевое собственное значение в особой точке, делится на два подмножества: типичных и вырожденных. Типичные ростки образуют в рассматриваемом- классе открытое всюду плотное-множество, а вырожденные - подмножество коразмерности 1 или выше. Например, в классе ростков-



(ax-f...) д/ддс векторных полей в особой точке с нулевым собственным значением на прямой типичные ростки выделяются требованием аО, а вырожденные - требованием а=0,

2. Выписываются главные семейства, соответствующие Давт ному классу. Это - стандартные семейства, играющие роль «топологических нормальных форм» для деформаций , типичных ростков изучаемого класса. Росток, топологически эквивалентный деформируемому, соответствует в главном семействе нулевому значению параметров.

3. Изучаются бифуркационные диаграммы для главных семейств и фазовые портреты уравнений этих семейств. Для описанных ниже главных семейств некоторая окрестность нуля в базе семейства разбивается на конечное число подмножеств (стратов). Объединение открытых стратов образует дополнение к бифуркационной диаграмме. Любые два поля, соответствующие значениям параметров из одного страта, топологически эквивалентны в некоторой (общей для всех близких к нулю значений параметров) окрестности нуля в фазовом пространстве;

4. Для каждого страта описывается (с точностью до гомео морфизма) фазовый портрет соответствующего векторного поля.

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором - его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом - главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова.

1. В типичных локальных v-параметрических семействах векторных полей встречаются только типичные ростки рассматриваемого класса.

2. Любая v-параметрическая деформация типичного ростка этого класса, трансверсальная классу, эквивалентна надстройке седла> над одной из главных деформаций и является версальной.

3. Типичная v-параметрическая деформация типичного ростка такого класса трансверсальна классу.

Соответствующие простейшим классам типичные ростки, главные семейства, их бифуркационные диаграммы и фазовые портреты описаны в прилагаемой ниже таблице.

» Если надстройка седла фактически не производится, то для едииооб.-разия будем говорить,- что произведена надстройка «тривиального седла» {0}.

2* 19



Иногда рассматривается класс ростков, эквивариантных от-ТОСИтельно некоторой группы симметрии. Тогда все деформации 8 сопрягающие отображения считаются эквивариантными отно-<тёльно той же группы.

§ 2. Бифуркации особых точек в типичных однопараметрических семействах

В типичных однопараметрических семействах векторных полей встречаются негиперболические особые точки двух типов: одно собственное значение особой точки равно нулю или два чисто мнимых, отличных от нуля, а остальные не лежат на мни-КрЙ оси. В этом параграфе описаны версальные деформации ТЩШ ростков и обсуждается явление мягкой и жесткой потери устрйчивости положения равновесия.

Отсюда и до конца второй главы, если не оговорено противнее, «типичное семейство» - это семейство из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве семейств с С*-топологией (г - любое число, большее или равное степени полиномиальных векторных полей, задающих главные деформации) .

2.1. Типичные ростки и главные семейства.

Теорема. Класс всех ростков векторных полей в негиперболической (имеющей лежащее на мнимой оси собственное число) особой точке представляется в виде объединения двух -открытых множеств и остатка коразмерности выше единицы в пространстве всех ростков в особой точке. Первое множество соответствует нулевому собственному значению особой точки, второе - паре чисто мнимых. Типичные ростки в том и другом случае приводятся на центральном многообразии к указанному ;в таблице 1 виду (строки 1 и 2). Деформации таких ростков в типичных однопараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице 1 главным деформациям и нереальны.

В таблице 1

Pv (х, е)=£i -f В2Х -f ... -j- 8v.>r-. (6)

Замечания. 1. Семейство (1+) получается из (1") обращением параметра. Однако при одной и той же надстройке седла первое семейство становится, вообще говоря, неэквивалентным индуцированному из второго.

2. Семейства (2) и (2) получаются друг из друга обращением времени: t* - t, симметрией: zz и обращением параметра: Е1-*-е; однако мы исследуем их отдельно, поскольку потеря устойчивости в этих семействах сопровождается принципиально разными явлениями.

, .2,2. Мягкая и жесткая потеря устойчивости. Рассмотрим семейство (2-). При 8<0 особая точка О асимптотически устой-





0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0035