Таблица I

Класс

Негиперболическая -особая точка

Негиперболический щикл с мультиплика-тгором +1

Гиперболическая особая точка с гомоклинической траекторией

Простое касание шлн квазитрансвер-•сальное пересечение устойчивых . и неустойчивых многообразий.

Подкласс

нет гомоклиниче-ских траекторий

одна гомоклиниче-ская траектория

не меньше двух гомоклиниче-ских траектории

нет гомоклиниче-ских траекторий

объединение гомо-клинических траекторий и. цикла компактно

объединение гомо-клинических траекторий и цикла некомпактно

нет контуров или

гомоклинических

траекторий

есть контуры или

гомоклинические

траектории

или +-

+ + или

а С ч

s 2 «

+ или

стоит из 7 столбцов, в столбце 1 - «класс» - указывается тип особенности. В столбце 2 - «подкласс» - наличие или отсутствие гомоклинических траекторий или другая характеристика бифуркационной поверхности. В столбце 3 - «достижимость, недостижимость» - в случае достижимости бифуркационной поверхности с обеих сторон будем ставить знак «++», с одной - Знак «-{- -», в случае недостижимости с обеих сторон - знак «--». В столбце 4 - «не выводит, выводит из класса систем Морса-Смейла» - если бифуркация не выводит из класса систем Морса-Смейла, то ставится знак «-{-», если выводит - знак «-». В столбце 5 - «рождается цикл» - если рождается р циклов, то ставим р, если бесконечно много циклов - то «оо». В столбцах б и 7 - «рождается нетривиальное предельное множество» или «рождается странный аттрактор» - ставится знак « + », если рождается, и знак «-», если нет.

I.S. Сводка результатов (см. таблицу 1 стр. 96). В столбце 6 и - это двумерный тор и бутылка Клейна соответственно. В столбце 5 знак «к» обозначает возможность рождения конечного множества предельных циклов. В столбце 6 знак q означает наличие нетривиального гиперболического множества. Знак ? означает, что вопрос открыт.

§ 2. Нелокальные бифуркации потоков на двумерных поверхностях

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности - появление «седловой связки», когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел «меняются местами». Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной.

Заметим, что седловая связка - это траектория, принадлежащая единственно возможному нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий гиперболических положений равновесия и (или) циклов.

Цель настоящего параграфа - описать (насколько возможно) бифуркации в типичных однопараметрических семействах векторных полей на замкнутых поверхностях, а также структуру бифуркационного множества в функциональном пространстве векторных полей.

Замечание. Напомним следующий результат

Теорема ([8], [9], [185]). 1. Любая грубая (структурно устойчивая) система на замкнутой поверхности является системой Морса-Смейла. 2, Множество грубых (структурно устой-

чивых) векторных полей на замкнутой двумерной поверхности открыто и плотно в {М).

Таким образом, любая негрубая система является граничной для множества систем Морса-Смейла.

2.1. Полулокальные бифуркации потоков на поверхностях. Теорема ([8], [9]). В типичных однопараметрических семействах векторных полей на плоскости возможны лишь следующие полулокальные бифуркации:

а. Рождение цикла из гомоклинической траектории седло-узла.

б. Появление и распад седловой связки.

в. Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы невырожденного седла.

Если седловая величина (сумма собственных значений линеаризации векторного поля в седле) отрицательна, то рождающийся из петли сепаратрисы цикл устойчив, если положительна, то неустойчив.

Эти бифуркации изображены на рис. 34. Их многомерные-аналоги исследованы в §§ 3, 6, 5 соответственно.

Векторные поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего ну-певую седловую величину, встречаются в типичных семействах с не менее чем двумя параметрами. Бифуркации таких полей в типичных двупараметрических семействах описаны в п. 2.6. Бифуркации петли сепаратрисы в типичных многопараметрическшс семействах исследованы в работе [79].

£>£

Рис. 34. Полулокальные бифуркации коразмерности 1 на поверхностях