2) все пересечения трансверсальны, но одно (н только одно) из Qi негиперболично (и принадлежит классу, описанному в п.п. 1.2-1.3).

Замечание. Пусть для векторного поля на двумерной поверхности существует контур. Если Qj - положение равновесия, то оно либо седло, либо седло-узел, а если цикл, то - с мультипликатором--1Если в состав контура входит более одного положения равновесия или одного цикла, то векторное поле принадлежит множеству коразмерности, не меньшей двух, в пространстве векторных полей. Действительно, если в состав такого контура входит i циклов, i6{0; 1; 2}, то существует не менее (2-i) сепаратрис, соединяющих соседние седла или седло-узлы.

Таким образом, единственно возможный (в коразмерности 1) контур на поверхности состоит из цикла с мультипликатором -j-l и седла. Векторное поле с таким контуром может возник-нить на поверхности рода больше нуля (но Не на сфере или проективной плоскости) (рис. 33). Поле в этом случае - квазиобщее, но не первой степени негрубости (см. § 2).

Рис. 33. Контур на двумерной поверхности, образованный полуустойчивым циклом и седлом

Лемма. Пусть имеет место случай 2) и Qj негиперСолич-но. Тогда либо:

а) Qj - положение равновесия с одномерным центральным многообразием, седло по гиперболическим переменным, и имеет счетное множество гомоклинических траекторий, либо

б) Qj - цикл с мультипликатором +1, имеющий гомоклиническую траекторию.

Доказательство. Используя трансверсальность Пересе, чений устойчивых и неустойчивых множеств и ?1-лемму [138]

" Конечно, предполагается, что особые точки и циклы принадлежат классу, описанному в п.п. 1.2, 1.3.

аналогично [198], можно показать, что Qy имеет гомоклиническую траекторию, по которой устойчивое и неустойчивое множества пересекаются трансверсально. Следовательно, если Qy-положение равновесия, то в силу п. 1.2, оно не может иметь двумерного центрального м ногообразия. Если же dim Wq = 1, то Qj не может быть узлом по гиперболическим переменным (тогда было бы либо dim5 . = 1, и S.czS., либо uitnS.l, и S.cSq., т. е. к = 1, что невозможно), и окончательно, а) следует из [32].

Пусть теперь Qj-цикл. Если он имеет мультипликатор (-1), или пару мультипликаторов е±ч, то, в силу леммы пункта 1.3, векторное поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса -Смейла.►

Случай 2а) будет рассмотрен в § 3, случай 26) в § 4, а случай 1) - в § 6.

1.6. Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество 1 всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла.

Теорема ([199] - [201]). Существует открытое всюду плотное подмножество iC:J?i, которое в окрестности каждой своей точки в %{М) является гладкой гиперповерхностью коразмерности один. Векторные поля в Sdi имеют особые точки или циклы, или траектории простого касания, или квазитрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий, перечисленные в п.п. 1.2-1.4.

Компоненты множества отвечающие векторным полям с перечисленными в п.п. 1.2-1.4 вырождениями, будем называть бифуркационными поверхностями. Гладкость бифуркационных поверхностей можно доказать с помощью построения гладких функционалов, невырожденные уровни которых совпадают с этими поверхностями. Такие функционалы существуют для всех перечисленных бифуркационных поверхностей.

В качестве примера приведем функционал для негиперболической особой точки с одномерным центральным многообразием. Пусть векторное поле Do6i имеет негиперболическую особую точку О с одномерным центральным многообразием. Введем систему координат {{х, уи , n-i)} так, чтобы ось Ох касалась центрального многообразия в точке О, а за у= {уи ... • •, Уп-i) выберем карту в дополнительной плоскости. Тогда любое С.близкое к Vq векторное поле v запишется в виде x==f{x, у), y=g{x, у), detdg/dy(0)0. Поэтому уравнение g = = 0 имеет единственное решение у=(р{х). Значение / в точке экстремума функции f(x, (р{х)) и полагается равным значению функционала х на v.

Как видно, при построении функционала векторное поле рассматривается на нулевой изоклине гиперболических переменных н проектируется на ось негиперболической переменной; за значение функционала принимается значение этой проекции в точке ее экстремума. В силу наложенных на Vq условий, изоклина, проекция и точка экстремума гладко зависят от v.

Пример. Рассмотрим семейство (е) уравнений на R:

x==a{E) + fi(e)x + y{E)x==f(x, е), а (0)-f Р (0) = О = V (0).

По определению, y.{v{e)) = f {Хо{е), е) = - Ту"~

-у -гладкие функции и /(Хо(е), е)=70 при е = 0, то о(е) - трансверсально в точке v{0).

Из примера видно, что знание функционалов, определяющих бифуркационные поверхности, позволяет конструировать трансверсальные к ним однопараметрические семейства векторных полей.

1.7. Характеристики бифуркаций. Бифуркации удобно классифицировать по следующим характеристикам бифуркационных поверхностей:

а) Достижимость или недостижимость бифуркационной поверхности из области грубых систем, границей которой она является". Очевидно поверхность может быть достижима с одной стороны, с обеих или не достижима ни с какой стороны. В примере п. 1.1 бифуркационная поверхность недостижима со стороны е>ео из-за замыкания сепаратрис при е=е{.

в) Для бифуркационных поверхностей, принадлежащих границе множества систем Морса-Смейла, приведем следующее

Определение. Бифуркация называется не выводящей нз класса систем Морса-Смейла, если по обе стороны соответствующей бифуркационной поверхности в шаре в xiM) достаточно малого радиуса с центром в точке на этой поверхности всюду плотны системы Морса-Смейла.

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса-Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством - при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий.

В соответствии с указанными признаками, исследованные к настоящему времени бифуркации коразмерности 1 удобно объединить в таблицу (см. табл. 1) следующей структуры. Она со-

) Напомним, что граничная точка vo открытого множества U называется достижимой, если существует путь (гомеоморфный образ замкнутого отрезка), все точки которого, кроме граничной, совпадающей с vq, целиком, лежат в U.