шустота для систем с более чем двумерным фазовым пространством. Эти результаты изложены в § 7.

Некоторые бифуркации, описанные в этой главе, приводят к возникновению странных аттракторов. Существуют разные, не эквивалентные между собой определения аттракторов. На «физическом» уровне строгости аттрактор - это множество траекторий в фазовом пространстве, отвечающее «установившимся режимам». Обсуждение различных определений аттрактора и описание некоторых бифуркаций аттракторов содержатся в § 8.

В §§ 5, 6 и др. приводятся сведения о бифуркациях в классе систем с нетривиальными неблуждающими множествами.

§ 1. Вырождения коразмерности 1. Сводка результатов

1.1. Локальные и нелокальные бифуркации. Обозначим через XiM) банахово пространство С-гладких векторных полей с C-топологией, г1, на С°°-гладком многообразии Л4, через 2 (М) - множество векторных полей, порождающих структурно устойчивые (или грубые") динамические системы.

Определение. Множество Б(УИ) =х(М)\Е(М) называется бифуркационным.

Пусть v{e), eGR, - /г-параметрическое непрерывное семейство векторных полей.

Определение. Значения е, для которых у(е)бБ(М), называются бифуркационными, а изменение топологической структуры разбиения фазового пространства на траектории динамической системы, порожденной векторным полем v{e}, при переходе через бифуркационное значение е, называется бифуркацией.

Аналогично определяются бифуркации для динамических систем с дискретным временем - диффеоморфизмов.

Очевидно, бифуркационное множество содержит векторные поля, имеющие негиперболические особые точки или негипер,-болические циклы, а также векторные поля, имеющие гиперболические особые точки и (или) ци№лы, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются нетрансверсально.

Определение. Фазовая кривая векторного поля называется гомоклинической траекторией особой точки (или цикла).

) Напомним (см. [11], [166]), что первоначальное определение структурной устойчивости отличается от определения грубости отсутствием требования близости к тождественному гомеоморфизма, осуществляющего топологическую эквивалентность исходной и возмущенной систем. Открытость множества векторных полей, порождающих структурно устойчивые системы, следует непосредственно из определения, в отличие от грубых. С другой стороны, нам не известны примеры структурно устойчивых систем, не являющихся грубыми, поэтому в настоящее время «структурная устойчивость» часто используется как синоним «грубости», т. е. оба термина подразумевают близость сопрягающего гомеоморфизма к тождественному.

если она входит в эту точку (наматывается на цикл) как при t-oo, так и при t->--оо; другими словами, если а- и ©-предельные множества совпадают с особой точкой (циклом). Фазовая кривая называется гетероклинической траекторией, если ее а-и СО-предельные множества являются различными особыми точками или циклами.

Определение. Бифуркации, осуществляющиеся в малой фиксированной окрестности положения равновесия (или цикла) и связанные с нарушением его гиперболичности, называются локальными. Бифуркации, осуществляющиеся в малой фиксированной окрестности конечного числа гомо- или (и) гетерокли-нических траекторий, называются полулокальными; все остальные (не локальные и не полулокальные) -глобальными.

Заметим, что эти определения относятся, в первую очередь, к постановке задачи: локальные бифуркации могут сопровождаться полулокальными, а полулокальные - глобальными.

Рис. 32. Фазойые кривые векторного поля на плоскости, однопараметрическая деформация которого имеет счетное множество бифуркационных знЕЧений

Пример. Изображенная на рис. 32 система имеет при* е=ео полуустойчивый предельный цикл, на который наматывается неустойчивая сепаратриса седла и с которого сматывается устойчивая сепаратриса другого седла. После исчезновения цикла, скажем, при 8>ео, сепаратрисы этих седел замыкаются, когда параметр е пробегает последовательность значений ei>eo, 8i-eo. Локальная бифуркация здесь - слияние устойчивого и неустойчивого циклов в полуустойчивый при е=8о и его исчезновение при 8>ео. Она сопровождается счетным множеством полулокальных бифуркаций - замыкания сепаратрис при е=8,.

Перечислим вырождения коразмерности 1, связанные с нарушением требований на системы Морса-Смейла.

1.2. Негиперболические особые точки. На границе множества систем Морса-Смейла встречаются системы с негиперболическими точками (циклами). Локальные бифуркации таких точек и циклов описаны в главах 1 и 2. Однако с негиперболичес-

кими точками и циклами связаны вырождения нелокального характера, которые приводят к полулокальным бифуркациям. Опишем гомоклинические траектории негиперболических особых точек.

Определения. Устойчивым (неустойчивым) множеством негиперболической особой точки векторного поля называется объединение всех положительных (отрицательных) полутраекторий поля, стремящихся к этой точке.

Аналогично определяются устойчивое и неустойчивое множества негиперболического цикла и негиперболической неподвижной точки диффеоморфизма.

Замечание. Суммарная размерность устойчивого и неустойчивого множества негиперболической особой точки с однот мерным центральным многообразием равна п+1 (п - размерность фазового пространства). Поэтому в классе векторных, полей с такой особой точкой наличие гомоклинической траектории этой точки - явление общего положения.

Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразие точки; и цикла определены в [162] и обозначаются U, W" и W (или Wb, Wl, Wb; Wl, Wl Wl, тт О и / -соответствующие точка и цикл). Устойчивое и неустойчивое множества точки и цикла обозначаются S" и 5* (или So. So, S[, S] , где О и / - соответствующие точка и цикл).

Если все не лежащие на мнимой оси собственные значения матрицы линейной части векторного поля в особой точке находятся в правой (левой) полуплоскости, то скажем, что особая точка - неустойчивый (устойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае особая точка называется седлом по гиперболическим переменным.

Пример 1. Рассмотрим негиперболическую особую точку О векторного поля с одномерным центральным многообразием, ограничение поля на которое имеет вид (ах-Ь ...) д/дх, афО. Если эта особая точка - узел по гиперболическим переменным, то росток в точке О одного из множеств 3\ 5" диффеоморфен ростку луча в его вершине, а росток другого множества - ростку полупространства в граничной точке. Если особая точка О - седло по гиперболическим переменным, то ростки множеств S и 5" диффеоморфны росткам полупространства размерности выше единицы в граничной точке; dim 5* = dim IF-h 1, dimS" = dim IT" 4-1.

Пример 2. Рассмотрим негиперболическую особую точку векторного поля с двумерным центральным многообразием и парой чисто мнимых собственных значений; ограничение поля на центральное многообразие имеет нормализованную 3-струю,, задающую уравнение вида:

z==mz-\-az\z\, Rea=0