этому если Tf имеет цикл периода Л, то Р имеет цикл того же периода, а отображение / - цикл вдвое большего периода.

6.6. Механизм универсального удвоения для диффеоморфизмов. Рассмотрим двумерный случай. Пусть g - автоквадратное отображение из пункта 6.5. Рассмотрим отрезок I: xG[-1, 1], уО на плоскости и построим чрезвычайно вырожденное автоквадратное отображение окрестности отрезка / в себя. Положим:

Ввиду четности и аналитичности функции g, функция ф ана-литична на отрезке [О, 1] и, следовательно, аналитически продолжается в некоторую окрестность его концов. Пусть - г-окрестность отрезка / на плоскости (х, у) - объединение всех кругов радиуса г с центрами на /. При достаточно малом г определено отображение

G:(ЛГ, г/)-(Ф {х-у). 0), -D„

совпадающее eg на/. Положим: а= - l/g(l) = 2.5029 ..., А;{х, у]{-ах, о?у). Рассмотрим спеэатср удвоения:

T:FAoFoFoA-\ (26)

Если С-норма разности F-G не превосходит г/2, то отображение TF определено в D- Легко проверить, что отображение О является неподвижной точкой оператора Т и в этом смысле автоквадратно.

Замечание. Отображение G можно приблизить семейством диффеоморфизмов

С/е : Go = G. Geix,y) = (4> (х - у), ех).

, Отобра:кение Ое:Ог->R2-диффеоморфизм при достаточно малом г и всех достаточно малых 8=70.

Рассмотрим окрестность автоквадратного отображения G в подходящем функциональном пространстве отображений области Dr в себя. Эта окрестность расслоена на орбиты действия группы аффинных замен переменных (точнее, разбита на классы аффинно эквивалентных отображений; допуская вольность речи, будем называть эти классы «орбитами», хотя они представляют лишь «куски» орбит). Орбита отображения G, как и близких к G отображений, - гладкое многообразие, размерность которого совпадает с размерностью аффинной группы пространства С". Поэтому окрестность отображения G факторизуется по действию аффинной группы; пусть я - проектирование этой окрестности на соответствующее факторпространство. Оператор удвоения переставляет орбиты действия аффинной группы; поэтому он опускается до оператора, действующего на факторпро-странстве. Точка nG является неподвижной для этого нового

оператора. Доказано [57:9], что эта неподвижная точка гиперболична и имеет одномерное неустойчивое многообразие и устойчивое W коразмерности!. В пространстве однопараметрических семейств диффеоморфизмов открытое множество образуют семейства, трансверсально пересекающие многообразие jCW, имеющее коразмерность 1 в пространстве всех отображений области Dr в себя. В таких семействах происходит счетное число бифуркаций удвоения периода; механизм этих бифуркаций объясняется гиперболическими свойствами оператора удвоения так же, как и в одномерном случае [48], [57].

Когда параметр семейства пробегает отрезок между соседними бифуркационными значениями, отвечающими удвоению периода, один из мультипликаторов соответствующего цикла меняется от значения 1 до значения -1, выходя по дороге в комплексную область. Интересно исследовать асимптотику кривой, пробегаемой этим мультипликатором на плоскости С. В настоящее время оценен сверху радиус круга с центром О, в котором лежит дуга невещественных значений мультипликатора; этот радиус убывает, как повторная геометрическая прогрессия ехр(-а2").

Пусть двумерная область Dr, оператор удвоения (26), его неподвижная точка G : D-R и его инвариантная гиперповерхность n~W - те же, что и выше.

Теорема (М. В. Якобсон, 1985). Существует окрестность отображения G в функциональном пространстве, обладающая следующим свойством. Пусть одномерное семейство диффеоморфизмов принадлежит этой окрестности и трансверсально пересекает гиперповерхность n~W\ Тогда

1. Последовательность бифуркационных значений параметра, соответствующих выходу в комплексную область мультипликаторов цикла периода 2", возникающего в каскаде удвоений, имеет вид е„ = сб"""+0(б~"а"), где б - константа Фейгенбаума, сг - максимальное сжимающее собственное значение линеаризации оператора удвоения в неподвижной точке О, с - константа, зависящая от семейства.

2. Соответствующая последовательность дуг, пробегаемых невещественным мультипликатором цикла периода 2", лежит в круге радиуса ехр(-а2") с центром 0; здесь а - положительная константа, зависящая от семейства. А

Ослабленное первое утверждение теоремы: е„=0(6"") немедленно следует из теории универсальности Фейгенбаума. Доказательство первого утверждения в его полном объеме выходит за рамки настоящего обзора; наметим доказательство второго.

Ч Если мультипликатор неподвижной точки диффеомор-

физма плоской области (он же-мультипликатор цикла диффеоморфизма /е с периодом 2") -невещественный, то второй мультипликатор с ним комплексно сопряжен, и якобиан диффео-

морфизма в этой точке равен Я„(е)р. С другой стороны, если диффеоморфизм /е достаточно близок к отображению Q, образ которого одномерен, то якобиан fg всюду в области определения меньше некоторой константы ехр(-2а) <1. Тогда якобиан диффеоморфизма ff всюду в меньше ехр( -2а-2"). Отсюда

Я„(е)<ехр(-а.2«). ►

Теорема справедлива и для отображений областей любой размерности (а не только двумерных). Доказательство утверждения 2 использует тот факт, что все отображения, близкие к отображению на прямую, сжимают двумерные объемы.

Глава 3 НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ

В этой главе описаны бифуркации систем, принадлежащих границе множества систем Морса - Смейла. Напомним, что точка Р называется неблуждающей точкой потока {/} (или диффеоморфизма /), если для любой окрестности ЩР существует последовательность ti~(x> при г->оо {ktZ, ki-> оо при i-> со) такая, что f4J П {fi ииф 0). Поток (или диффеомор-

физм) компактного многообразия называется системой Морса - Смейла, если

1. Множество неблуждающих точек потока или диффеоморфизма состоит из конечного числа неподвижных точек и периодических траекторий.

2. Все неподвижные точки и периодические траектории - гиперболические.

3. Устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек и циклов пересекаются трансверсально.

Границу множества систем Морса-Смейла можно разбить на следующие части:

1. Системы с конечным множеством неблуждающих траекторий, содержащие либо негиперболические неподвижные точки или циклы, либо траектории нетрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек или (и) циклов, либо и те, и другие одновременно.

2. Системы с бесконечным множеством неблуждающих траекторий.

Бифуркации, осуществляющиеся при переходе через первую часть границы, изучены сравнительно подробно и описаны в §§ 1-6. Вторая часть границы и соответствующие ей бифуркации почти не исследованы; совсем недавно доказана ее не-