Рис. 29. Три последовательных бифуркации удвоения для диффеоморфизма плоскости. Бифуркации происходят при переходе от рис. а к рис. б, от г к й и от й к е. На рис. виг показаны перестройки неподвижных точек квадрата диффеоморфизма. На рис. г сплошными линиями показаны инвариантные кривые диффеоморфизма, а пунктирными - инвариантные кривые его квадрата; на этих кривых диффеоморфизм действует как инволюция. На рис. д сплошными линиями показаны инвариантные кривые квадрата диффеоморфизма, а п)гнктирными - инвариантные кривые его четвертой степени. Кривые рис. е инвариантны относительно шестнадцатой степени диффеоморфизма. Неустойчивое многообразие каждой седловой неподвижной точки содержит в своем замыкании неустойчивые многообрагия всех седловых неподвижных точек, рождающихся при последующих бифуркациях. Нэ рис. е изображены лишь «центральная» и «левая» части множества неподвижных точек и инвариантных кривых шестнадцатой степени диффеоморфизма

-1, не может иметь вещественных собственных чисел при всех значениях параметра: в противном случае один из мультипликаторов неподвижной точки должен был бы пройти через нуль, и отображение не было бы диффеоморфизмом. Перестройки биквадрата диффеоморфизма плоскости при двух последовательных удвоениях показаны на рис. 29.

6.3. Каскад п-кратных увеличений периода. В двупараметрических системах встречаются столь же неустранимым образом каскады утроений, учетверений, упятерений и т. д. В этих случаях знаменатель геометрической прогрессии, определяющей последовательность бифуркационных значений параметров, - комплексное число, так что бифуркационные значения ложатся асимптотически на логарифмическую спираль (в подходящей евклидовой структуре плоскости параметров). Для утроений это число равно (4,600...-j-t8,981 ...)~. Вычисления показывают, что для каскада бифуркаций с прохождением пары мультипликаторов через резонанс exp{±2nipfq) универсальный знаменатель приблизительно равен С(р, q)fq. Тем самым, с ростом кратности увеличения периода события разворачиваются быстрее [57:56, 57, 58].

6.4. Удвоение в гамильтоновых системах. В гамильтоновых системах также встречаются каскады удвоений, но выглядят они несколько иначе. В этом случае бифуркация удвоения состоит в том, что при изменении параметра эллиптическая пери-

одическая траектория становится гиперболической", но рядом с. ней появляется эллиптическая периодическая траектория удвоенного периода (рис. 30). Универсальный знаменатель для удвоения в гамильтоновой системе равен 1/8,72... [57: 54, 55].

Опишем теперь механизм возникновения каскада удвоений для диффеоморфизмов. Напомним некоторые результаты из одномерной теории [57], [135].

6.5. Оператор удвоения для одномерных отображений. Рассмотрим отображение отрезка в себя, график которого имеет вид, изображенный на рис. 31а. График квадрата отображения, изображен на рис. 316. Обведенная часть этого графика, с точностью до растяжения и обращения осей, напоминает исходный график. Это наблюдение мотивирует

Определение. Отображение отрезка /= [-1, 1] в себя-называется автоквадратным, если оно сопряжено с ограничением своего квадрата на меньший отрезок, причем сопрягающий диффеоморфизм линеен.

Последнего, вообще говоря, можно добиться выбором координаты на прямой.

Теорема (Лэнфорд [57: 29], Кампанино, Эпштейн [57: 30]) 2. Существует четное аналитическое автоквадратное отображение g : I-I, для которого

g(0)=l, g(l)<0, gix)>0 при хе[-1, 0),

g(g(a))<a-<g(a-). (25>

где а--l/g(l). В некоторой окрестности точки g в пространстве всех отображений отрезка нет других автоквадратных отображений, удовлетворяющих нормировочному требованию £(0) = 1.

Автоквадратное отображение является неподвижной точкой «оператора удвоения»

Этот оператор определен для всех четных отображений, удовлетворяющих условиям (25), и для всех, не обязательно-четных, отображений, близких к g и переводящих О в 1.

Замечание. Отображения Tf и f=f of сопряжены. По-

> Эллиптическая периодическая траектория гамильтоновой системы - это цикл с невещественными мультипликаторами, по модулю равными единице; гиперболическая - с мультишиикаторами, модуль которых, не равен единице.

> Подробное доказательство см.: К. И. Бабенко, В. Ю. Петрович, О доказательных вычислениях на ЭВМ. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша. М., 1983, 183 с.

Рис. 30. Три последовательные бифуркации удвоения периода в типично» семействе отображений, сохраняющих площадь (гамильтонов случай)

Рис. 31. Отображение отрезка, близкое к автоквадратному, и его квадрат 6*