феоморфизмы с двумя двукратными неподвижными точками. Линия Г и будет базой семейства диффеоморфизмов окружности, которое является инвариантом деформации {f}.

При ебГ диффеоморфизму /в соответствует функциональный инвариант - класс эквивалентных диффеоморфизмов окружности на себя. А именно, росток диффеоморфизма /е в каждой из двух его полуустойчивых неподвижных точек порождается ростком векторного поля: росток диффеоморфизма является сдвигом за единичное время по фазовым кривым поля. Росток каждого из порождающих полей однозначно определен диффеоморфизмом /е- Оба поля разносятся с помощью на весь интервал между неподвижными точками диффеоморфизма, и на всем этом интервале порождают !г- Тем самым, построены два векторных поля на интервале, перестановочные с диффеоморфизмом интервала на себя без неподвижных точек. Такая пара полей порождает диффеоморфизм окружности на себя, определенный с точностью до сдвига в образе и в прообразе, как это описано в п. 5.8. Два диффеоморфизма окружности эквива-, лентны, если они имеют вид ~--ф{0 it+i.t) причем ф(/--а) =ij)(/)-f 6 для некоторых а и Семейство таких классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности, построенных для отображений при ебГ, и образует функциональный инвариант деформации {feee{R3,0)}.

Докажем теперь, что функциональные инварианты эквивалентных деформаций совпадают. Если два семейства эквивалентны, то поверхности (ласточкины хвосты) в базе, соответствующие диффеоморфизмам обоих семейств, имеющим негиперболические неподвижные точки, совпадают. Пусть и - диффеоморфизмы двух семейств, соответствующие значению параметра на линии самопересечения Г ласточкиного хвоста. Существует богатое множество гомеоморфизмов, сопрягающих и ge; большинство из них не переводит друг в друга соответствующие порождающие поля.

Пусть Н - гомеоморфизм, сопрягающий семейства {fe} и {gj. Из теоремы о жесткости (п. 1.1, гл. 2) следует, что гомеоморфизм Я(«,е) при ебГ переводит порождающие поля диффеоморфизма /е в порождающие поля диффеоморфизма g. Следовательно, функциональные инварианты диффеоморфизмов /е и g совпадают. ►

Замечания. 1. Теорема о жесткости навязывает некоторую гладкость сопрягающему отображению, которое по определению было лишь гомеоморфизмом. Поэтому для отображений, осуществляющих лишь топологическую, а не гладкую эквивалентность семейств диффеоморфизмов, удалось провести те же построения, что и для гладких отображений в п. 5.9.

2. Теорема о жесткости существенным образом связана с непрерывной зависимостью сопрягающего гомеоморфизма от параметра. Поэтому слабая эквивалентность деформаций ростков

диффеоморфизмов прямой не порождает функциональных инвариантов (см. п. 2.2, гл. 2).

Следствия. 1. Топологическая классификация трехпараметрических деформаций векторных полей с четырехкратным предельным циклом (вырождение коразмерности три) имеет функциональные модули.

Чтобы в этом убедиться, нужно применить теорему Руссари к соответствующему семейству преобразований монодромни.

2. Топологическая классификация четырехпараметрических деформаций ростка векторного поля на плоскости с двумя чисто мнимыми ненулевыми собственными значениями и дополнительным трехкратным вырождением линейной части (короче - ростка класса Bi, см. п. 3.1, гл. 1) имеет функциональные модули.

Действительно, соответствующее семейство преобразований монодромни имеет двупараметрическое подсемейство, состоящее из диффеоморфизмов с двумя двукратными неподвижными точками.

Поэтому при изучении многопараметрических деформаций векторных полей на плоскости целесообразно ослабить отношение эквивалентности до слабой эквивалентности.

§ 6. Универсальность Фейгенбаума для диффеоморфизмов и потоков

Одна из возможных бифуркаций аттрактора, часто реализующихся в системах, зависящих от параметра, - последовательность удвоений периода устойчивого цикла. Эта последовательность бифуркаций, происходящая на конечном интервале изменения параметра, приводит систему от устойчивого периодического режима к хаосу.

6.1. Каскад удвоений. Последовательность бифуркаций удвоения- в однопараметрических семействах происходит следующим образом. Устойчивый первоначально цикл - аттрактор теряет устойчивость с прохождением мультипликатора через -1. В этот момент от него ответвляется, в типичном семействе систем, устойчивый цикл вдвое большего, в момент бифуркации, периода; он замыкается после двух обходов теряющего устойчивость цикла (п. 1.2). При дальнейшем изменении параметра новый цикл испытывает ту же бифуркацию удвоения, затем родившийся аттрактор, с примерно четырехкратным . периодом, удваивается еще раз и т. д. Оказывается, весь этот каскад удвоений, в бесконечном, количестве, происходит в типичном семействе на конечном отрезке изменения параметра. Более того, промежутки между последовательными удвоениями убывают асимптотически в геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии универсален - не зависит от рассматриваемого

семейства, то есть одинаков для всех типичных семейств, равен 1/4,6692...; 4,6692... и называется константой Фейгенбаума [57].

6.2. Перестройки неподвижных точек. Аналогичные каскады удвоений наблюдаются в типичных семействах диффеоморфизмов: неподвижная точка, устойчивая при значениях параметра, меньших первого критического, теряет устойчивость при прохождении мультипликатора через -1 с образованием устойчивого цикла периода 2, затем этот цикл теряет устойчивость с •образованием устойчивого цикла периода 4 и т. д. Промежутки между последовательными бифуркациями убывают, как и для систем с непрерывным временем.

Линеаризация диффеоморфизма в неподвижной точке, теряющей устойчивость с прохождением мультипликатора через