Главная Промышленная автоматика.

Ю. с. Ильяшенко и С. Ю. Яковенко (1985). Доказательство в аналитическом случае опубликовано в [77].

Из утверждения о конечногладкой нормализации и теоремы о конечногладкой надстройке седла для дифференциальных уравнений (п. 5.3) вытекает

Следствие. Пусть v - росток гладкого векторного поля в особой точке с собственным значением О и одномерным центральным многообразием. Пусть кратность этой особой точки равна л+1, и вещественные части ее ненулевых собственных значений образует нерезонансный набор. Росток с такими свойствами встречается в типичном семействе, зависящем не менее чем от 1 параметров. Деформация такого ростка в типичном гладком (л-1-1)-параметрическом семействе конечногладко эквивалентна главной

X = + + (л, е) -f axt+K

у = А{х, Е)у.

Деформируемому ростку соответствует е=0, а=ао, где Оо - некоторая вещественная константа.

Замечания. 1. Главная деформация зависит от (i+l)-мерного параметра (еь ..., e,i, а) и функционального параметра А.

2. Следствие становится неверным, если в его заключении конечногладкую эквивалентность заменить аналитической или бесконечногладкой.

Это следствие позволяет нормализовать уравнение быстрых движений близ типичной точки складки медленной поверхности (§ 2, гл. 4).

5.8. Функциональные инварианты диффеоморфизмов прямой.

Функциональные инварианты возникают в С-классификации отображений прямой, имеющих более одной гиперболической неподвижной точки (Г. Р. Белицкий и др.). Рассмотрим диффеоморфизм интервала, имеющий две гиперболические неподвижные точки - притягивающую и отталкивающую. В окрестности каждой из этих точек диффеоморфизм единственным образом включается в гладкий поток.

Другими словами, росток диффеоморфизма в неподвижной точке является ростком преобразования фазового потока за время 1 единственного С-гладкого векторного поля. Оба возникающие вблизи неподвижных точек поля разносятся диффеоморфизмом на весь интервал между особыми точками. Фактор-пространство этого интервала по действию диффеоморфизма диффеоморфно окружности. На этой окружности возникают два векторных поля без особых точек, для которых окружность - цикл с периодом 1. Поэтому на окружности возникают две карты, определенные однозначно с точностью до сдвига: времена движения, соответствующие каждому из полей. Функция пе-



рехода от одной карты к другой порождает функциональный модуль исходного диффеоморфизма. А именно, эта функция перехода - диффеоморфизм окружности: t>-*t Ф {t).

Сдвиги в образе и в прообразе переводят этот диффеоморфизм в следующий:

здесь а и b - некоторые константы. Выбирая подходящие а н Ь, можно добиться равенства ф = ф = 0. Функциональным модулем

классификации диффеоморфизмов интервала с двумя гиперболическими неподвижными точками является класс эквивалентных диффеоморфизмсв окружности вида t>~*t-\-4 (t), ф=0. Отношение эквивалентности: Ф ж ф<=*-ф -j-а) = »}) () для некоторого а.

5.9. Функциональные инварианты локальных семейств диффеоморфизмов. Рассмотрим локальное семейство диффеоморфизмов прямой

(/; О, 0); / (X, е) = (л):л-л-е-f ал2-f ..., аО. (22)

При е>0 отображение /е имеет две гиперболические неподвижные точки. Как показано в п. 5.8, конечногладкая классификация таких отображений имеет функциональный модуль - диффеоморфизм окружности в себя. Локальному семейству (22) соответствует класс эквивалентности ростков по е в нуле семейств диффеоморфизмов окружности

Ф(/) = {Фе:5->5}, Фе=1(1--Фе. "«=0; е>0, (23) eft-i(p(ft-i)- при е->0; (23а)

при е<0 по определению полагаем 0E = id(9e=O).

Из С-гладкости локального семейства f следует, что соответствующее семейство Ф С-гладко.

Два семейства Ф и Ч вида (23) эквивалентны, если существует функция а класса С такая, что

Фе(/Н-а(е)) = -фе(), • (24)

где а-С-гладкая функция, и а=0 при еО.

Теорема (С. Ю. Яковенко, 1985). 1. С-гладкому локальному семейству (22) соответствует класс ростков в нуле по е гладких эквивалентных семейств диффеоморфизмов окружности (23), удовлетворяющих ограничению (23а) с отношением эквивалентности (24). 2. Каждый такой класс реализуется, как функциональный инвариант некоторого локального семейства (22). 3. Если функциональные инварианты и мультипликаторы



неподвижных точек, рассматриваемые как функции параметра, для двух C-гладких семейств совпадают, то семейства С гладко эквивалентны при

5.10. Функциональные инварианты семейств векторных полей. С-гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромни, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продеформированного уравнения) : одна точка - особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С-классификации таких преобразований построен выше.

Аналогично строится функциональный инвариант классификации типичных однопараметрических деформаций ростков диффеоморфизмов с мультипликатором -1.

5.11. Функциональные инварианты топологической классификации локальных семейств диффеоморфизмов прямой (по Руссари). Существует континуум топологически неэквивалентных трехпараметрических деформаций ростка диффеоморфизма (R, 0)(R, 0), х+ах*+ ....

Теорема. Типичной гладкой трехпараметрической деформации ростка диффеоморфизма прямой /: (R, 0)-(R, 0), х>- >-*х-\-а ..., афО, соответствует функциональный инвариант: однопараметрическое семейство классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности; отношение эквивалентности такое же, как п. 5.8. Для fx-параметрических деформаций робтка х- x-{-axf-\- ..., афО, функциональным инвариантом является (1-2)-параметрическое семейство классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности (ЛЗ) .

Руссари не описывает множества всех семейств диффеоморфизмов окружности, возникающих как функциональные инварианты локальных семейств диффеоморфизмов прямой, однако указывает, что это множество континуально.

Приведем набросок доказательства теоремы. Пусть {U} - типичная трехпараметрическая деформация ростка /. Неподвижные точки диффеоморфизмов сливаются, если и только если е принадлежит поверхности, диффеоморфной ласточкиному хвосту. Будем считать, что соответствующий диффеоморфизм пространства параметров уже сделан; тогда поверхность слияния неподвижных точек будет ласточкиным хвостом. Точкам общего положения на ласточкином хвосте соответствуют диффеоморфизмы с одной двукратной неподвижной точкой; остальные неподвижные точки (если они есть), просты. Точкам на линии Г самопересечения ласточкиного хвоста соответствуют диф-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

0.0058