MOB, зависящему от d+m параметров. Здесь d - число параметров версальной деформации линейной части исходного ростка, am - число резонансных соотношений, которым удовлетворяет набор его мультипликаторов. Если деформация гладкая (аналитическая), то нормализующие замены также гладки (аналитичны).

Аналогичные теоремы справедливы для ростков векторных полей в особой точке и на цикле.

5.6. Деформации однорезонансных гиперболических ростков.

Определение 1. Набор ЯбС" называется k-резонансным {мультипликативно k-резонансным, периодически к-резо~ нансным), если число образующих аддитивной группы, порожденной множеством векторов {гб2+"(г, Я)=0} (соответственно, множеством (ге2/Я = 1} или {reZ/(г, Я)б2яг2}, равно к. При Л = 1 Л-ре-зонансный набор называется однорезонансным. Линейное векторное поле со спектром Я, а также линейный диффеоморфизм или периодическое дифференциальное уравнение

= Лл, (<. x)eSixR". 5 = R/Z,

задаваемые оператором со спектром Я, называются k-резонанс-ными, если набор Я--резонансный.

Определение 2. Если все резонансные соотношения для. спектра линейной части векторного поля в особой точке (диффеоморфизма в неподвижной линейной частью) являются следствиями одного соотношения.

(г,Я)==0, (15>

соответственно

Я = 1 (16>

(г, Я)-Ь2яг/=а , (17>

то поле (соответственно, диффеоморфизм или периодическое дифференциальное уравнение) называется сильно однорезонансным.

Определение 3. Пусть А - оператор линейной части сильно однорезонансного векторного поля в особой точке или диффеоморфизма в неподвижной точке, или периодического дифференциального уравнения с автономной линейной частью, Я - спектр А. Оператору А соответствует вещественный резонансный моном, определяемый следующим образом.

Пусть zi,..., Zn - координаты в жордановом базисе оператора А, причем сопряженным собственным значениям соответствуют сопряженные на наборы координатных функций. Резонансным мономом, соответствующим оператору А, назовем.

в первых двух случаях выражение Re 2, а в третьем (z• e*). Будем говорить, что первый из этих мономеров соответствует соотношению (15) или (16), а второй - соотношению (17).

Определение 4. а) Главным семейством ростков сильно однорезонансных векторных полей в особой точке называется семейство

W {X, е) = Xg (и, е), X = diag х, (18)

где и - соответствующий (15) резонансный моном, g - векторный полином по и, коэффициенты которого являются параметрами семейства; их набор обозначается е.

б) Главным семейством ростков сильно однорезонансных диффеоморфизмов в неподвижной точке называется семейство

/(л:. e) = gU-.e).

где W - семейство полей из определения а), g - сдвиг за единичное время по фазовым кривым поля, и - соответствующий. (16) резонансный моном.

в) Главным семейством ростков сильно однорезонансных периодических векторных полей на цикле называется семейство (18), в котором и - резонансный моном, соответствующий соотношению (17).

Теорема. Пусть v - гиперболический сильно однорезо-нансный росток векторного поля в особой точке. Тогда

а) Для каждого натурального k любая гладкая деформация ростка V С-гладко эквивалентна индуцированной из главного семейства (18), в котором g - векторный полином степени N{k); N{k) - то же, что в теореме 3.

б) Если росток V не принадлежит исключительному подмножеству коразмерности бесконечность, то любая гладкая деформация этого ростка конечногладко эквивалентна индуцированной из главного семейства (18); степень полинома g в этом семействе зависит от деформируемого ростка и не зависит от класса гладкости сопрягающего диффеоморфизма.

в) Исключительное подмножество в этой теореме - то же, что в теореме Ихикавы о формальной конечной определенности для векторных полей [26, п. 3.4, гл. 3].

Аналог теоремы а) верен для ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и периодических векторных полей на цикле.

Теорема. В типичных гладких конечнопараметрических семействах векторных полей на плоскости встречаются только такие ростки седловых резонансных векторных полей (резонанс pXi-f9A2=0, р V. q натуральны и взаимно просты), которые гладко орбитально эквивалентны ростку

x = x(l ±иЧ-ao«),

Типичная деформация такого ростка конечногладко эквивалентна деформации, индуцированной из главной:

y-yplQy

и конечногладко орбитально версальна. Здесь к = л:!/- резонансный моном, (е, a) = (ei,..., ец, a)eR+ - многомерный параметр семейства,

{tl, е) = ei + + -. т- e«-- (19)

Замечание. Теорема о формальной конечной определенности для ростков диффеоморфизмов, аналогичная теореме Ихи-кавы, доказана недавно М. Б. Житомирским; отсюда легко следуют аналогичные результаты и для периодических векторных полей. Вероятно, аналог теоремы б) также справедлив для обоих этих случаев.

Перейдем к исследованию деформаций негиперболических ростков.

5.7. Деформации ростков векторных полей с одним нулевым собственным значением в особой точке.

Определение. Главной (л?--1)-параметрической деформацией ростка векторного поля на прямой называется семейство ростков, задающих уравнения

х= ±+ Pv-i(X, е) + ах+К (20)

Здесь Pv-i(:, е) = ejегл:-f ... -рбуХ"; деформируемый росток •соответствует значению параметра е=0, a==ao6R.

Замечание, -параметрические главные семейства параметризуются одним дискретным (равным плюс или минус единице) и одним непрерывным параметром (равным Оо)- Различные главные семейства не являются конечногладко эквивалентными, если сопрягающий диффеоморфизм сохраняет ориентацию.

Теорема. Типичное л-параметрическое семейство векторных полей на прямой в окрестности каждой вырожденной особой точки заменой переменных и параметров приводится к одному из главных семейств (20) при v-f lp. или к семейству

j;:= ±x+l-Pц J(JC, г)-га{г)х+К (21)

Соответствующая замена - аналитическая, гладкая или конеч-ногладкая, если исходное семейство аналитично, гладко или конечногладко. Точнее, для любого натурального k существует такое Nik), что если исходное семейство - класса С"*"", то нормализующая замена - класса k.

Эта теорема для аналитического и (бесконечно) гладкого случая доказана В. П. Костовым, а для конечно гладкого -