линейных уравнений, не существует. Однако чем меньше база семейства, тем выше порядок резонансов, имеющихся у уравнения семейства. Резонанс высокого порядка не препятствует С-гладкой эквивалентности уравнения своей линейной части, если порядок резонанса достаточно велик по сравнению с к (Стернберг {159:3-5]). Локальное семейство (13) при иррациональном а конечногладко эквивалентно линейному. Поэтому отношение конечногладкой эквивалентности вполне естественно при изучении нормальных форм локальных семейств.

5.3 Общие теоремы и деформации нерезонансных ростков.

Теорема 1 (Г. Р. Белицкий [38], [39]). Гладкий росток диффеоморфизма в гиперболической неподвижной точке имеет С-гладко версальную конечнопараметрическую деформацию для любого k. Эта деформация С-гладко эквивалентна полиномиальной. Если мультипликаторы ростка образуют мультипликативно нерезонансный набор Я= (Ль ..., Лп):

при любых Уб{1.....«}, S6Z+, S = (Si.....s„), s = Si-- . . .

... -j- s„ > 2, TO версальная деформация ростка эквивалентна линейной

хА {е)х.

Аналог справедлив для дифференциальных уравнений.

Замечания. 1. Семейство {Л(е)} является версальной деформацией оператора Л(0); также деформации найдены в [19].

2. В приложениях часто используются замены невысокого класса гладкости; поэтому ниже выделяются требования на росток, позволяющие оценить класс гладкости замен, нормализующих его деформацию. Следующая теорема справедлива для деформаций любых, а не только гиперболических ростков.

Рассмотрим росток диффеоморфизма в неподвижной точке

{X, у){,х, у), х==Ах..., у = Ау-г...

(с - от centre, h - от hyperbolic); все собственные значения оператора А" лежат на единичной окружности, а оператора Л" - вне ее. Переменные у={уи-.., yt,) называются гиперболическими, а собственные значения оператора - мультипликаторами, соответствуюиими гиперболическим переменным.

Теорема 2а (Такенс [202]). Рассмотрим росток диффеоморфизма в неподвижной точке, для которого модули мультипликаторов, соответствующих гиперболическим переменным,- образуют нерезонансный набор. Тогда для любого k существует представитель ростка, С-эквивалентный следующему

f:{x,y)ifo{x), А(х)у), (14)

здесь у= {уи ... ,Ук) - набор гиперболических переменных, y=Q

- центральное многообразие, х -карта на центральное многообразии, /о-росток диффеоморфизма, все мультипликаторы которого по модулю равны единице.

Эта теорема может быть усилена. Для каждого k определим «запрещенный порядок резонанса» N(k) следующим образом: пусть \hK -•• Я,<1<Я,+1< ... Положим:

L in lAjfi I J

Теорема 26 ([202]). Рассмотрим росток диффеоморфизма в неподвижной точке, для которого модули мультипликаторов, соответствующих гиперболическим переменным, не подчинены резонансным соотношениям порядка N{k) и ниже, то есть

при sJJV(). Тогда диффеоморфизм С-гладко эквивалентен диффеоморфизму (14). Аналоги теорем 2а и 26 справедливы для дифференциальных уравнений.

В частности, рассмотрим росток векторного поля в особой точке, для которого вещественные части собственных значений, соответствующих гиперболическим переменным, образуют нерезонансный набор. Для любого k существует представитель ростка, С-гладко эквивалентный следующему:

x = w{x), у=А(х)у,

где у - набор гиперболических переменных, х - карта на цен-• тральном многообразии. А

Эти результаты могут быть названы «теоремами о конечно-гладкой надстройке седла» и являются конечно гладким аналогом принципа сведения [20], [26]. Они обладают меньшей общностью: на мультипликаторы (или собственные значения особой точки) налагаются арифметические требования, которых нет в теореме сведения. Перейдем к деформациям гиперболических резонансных ростков.

Определение. Центральным многообразием локального семейства уравнений в точке (О, 0) называется центральное многообразие соответствующего семейству x = v{x, е) уравнения x = v{Xy е), е = 0.

Аналогично определяется центральное многообразие локального семейства диффеоморфизмов или периодических дифференциальных уравнений.

Теорема 3. а) Рассмотрим семейство векторных полей в особой точке (ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке, периодических векторных полей на цикле). Для каждого нату-

рального k существует такое N{k)=N, что все представители Л-струи семейства на его центральном многообразии С-экви-валентны.

б) Пусть а=тахЯ;/тшЯ;. Тогда можно взять N (к)

i=\,...,h

в виде Л/(Л) = 2[2(Л-1-1)а]+2, где [а]-целая часть числа а.

Замечание. Подчеркнем, что все упомянутые в теореме представители - это ростки семейств с общим центральным многообразием, iV-струи которых во всех точках центрального многообразия совпадают.

Теорема За для ростков диффеоморфизмов легко следует из общей теоремы Белицкого (в которой дана несколько более слабая оценка сверху на N(k) [38, теорема 2.3.2].

Теорема 36 доказана В. С. Самоволом [97], получившим также независимое доказательство теоремы За. Эти результаты применяются ниже к типичным однопараметрическим деформациям гиперболических ростков; для этих деформаций удается выписать интегрируемые нормальные формы.

5.4. Приведение к линейной нормальной форме. Из предыдущей теоремы немедленно получается

Следствие. Пусть -произвольное натуральное число. Если собственные значения особой точки гиперболического ростка векторного поля не удовлетворяют . резонансному соотношению порядка Л() или ниже, то версальная деформация ростка С-гладко эквивалентна версальной деформации его линейной части. Другими словами, любая деформация ростка С-гладкой заменой превращается в семейство линейных векторных полей.

Заметим, что величина N (k) зависит от числа а, измеряющего разброс вещественных частей собственных значений особой точки. Следующая теорема требует отсутствия лишь некоторых резонансов порядка 2.

Теорема (Е. П. Гомозов [64]). Пусть мультипликаторы гиперболического ростка диффеоморфизма в неподвижной точке не удовлетворяют ни одному из соотношений вида

\h\ = \hV\K\ при \kj\<\<\кь\.

Тогда любая гладкая деформация этого ростка С-эквива-лентна своей линеаризации.

5.5. Деформации ростков диффеоморфизмов типа Пуанкаре. Напомним, что росток диффеоморфизма в неподвижной точке - типа Пуанкаре, если его мультипликаторы лежат по одну сторону от единичной окружности (либо все вне окружности, либо все внутри).

Теорема (Н. Н. Брушлинская [47]). Версальная деформация ростка диффеоморфизма типа Пуанкаре в неподвижной точке эквивалентна полиномиальному семейству диффеоморфиз-